牛吃草问题基本公式

牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需要的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天？由于吃的天数不同，草又是天天生长的，所以草的存量随吃的天数不断变化。

解决牛吃草问题常用到的四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度=（吃得较多的天数×与之相应的牛头数—吃得较少的天数×与之相应的牛头数）÷（吃得较多的天数—吃得少的天数）

（2）原有草量=（吃的天数×与之相应的牛头数—草的生长速度×吃得天数）

=吃的天数×（与之相应的牛头数—草的生长速度）

（3）吃的天数=原有草量÷（与之相应的牛头数—草的增长速度）

（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的增长速度

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但是由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片地的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。

例：一个牧场，每天牧草都匀速生长。这个牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，可供25头牛吃多少天？

解：假设一头牛一天吃一份的草，则：

第一种吃法草的总份数：10×20=200（份）

第二种吃法草的总份数：15×10=150（份）

通过两种吃法对比，可知草的总份数的差就是多吃的10天的草，因此可求出草的生长速度和原有的草量：

草的生长速度：（20×10—15×10）÷（20—10)=5(份）

原有的草量：200-5×20=100（份）或150—5×10=100（份）

每天长出来的草是5头牛一天吃的分量，我们专门安排5头牛吃新长的草，剩下的20头牛吃原有的草，

所以25头牛吃的天数：100÷（25—5）=5（天）

答：可供25头牛吃5天。