高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解

一、知识点

1、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。

2、方程的根与函数的零点的关系：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的存在性

对函数零点的存在性应从以下几方面进一步理解：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；

（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

（3）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；

（4）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间至少有一个零点。

4、二分法

对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）· f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

5、用二分法求方程的近似解

步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；

（2）求区间（a，b）的中点x₁；

（3）计算f（x₁）；

1）若f（x₁）＝0，则x₁就是函数的零点；

2）若f（a）·f（x₁）＜0，则令b＝x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；

3）若f（b）·f（x₁）＜0，则令a＝x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））。

（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。

说明：

1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性。

2）二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）。“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好的运用，希望同学们在学习中要多加领会。

3）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但一方面，若函数在上有几个零点时，则只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，这就限制了二分法的使用范围。

 

二、例题

 

1、方程的根与函数的零点

例1、已知函数的图象，如图所示，则（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：这个问题中、、、四个待定系数要由图象及方程的根来确定。

解析：从图中可得，∴，

又知还有两个零点，可设函数解析式为：

。

当时，，∴，又由得，。

故答案选A。

小结：要会根据函数的零点来设解析式，掌握判断最高次项系数符号的方法。该例的解法还很多，同学们不妨再探讨一下其他解法。

 

例2、关于的一元二次方程的两根分别落在区间，内，求实数的取值范围。

分析：该例是一元二次方程根的分布问题，解题关键是由图象的分布要求，列出不等式求解。

解析：设二次函数，其对称轴为，图象开口向上，如图所示。

依题意得，解得，

∴实数的取值范围为。

小结：函数与方程之间有着密切的联系，在解决其中某一方面的问题时，经常转化为另一方面的问题，在这个转化过程中，函数的零点起着非常重要的作用。

 

例3、已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。

分析：利用在区间上有零点，画出草图，列出不等式求解。

解析：若，，显然在上没有零点，所以。

（1）当恰有一个零点在上时，则

或

解得  或。

（2）当在上有两个零点时，则

        或

解得或。

综上，所求实数的取值范围是或  。

小结：当函数在某区间有零点时，要注意对零点的个数加以分析和讨论。

 

2、利用函数零点解不等式

例4、求函数的零点，并指出当，时的取值范围。

分析：该例主要考查二次函数与一元二次方程间的关系，关键是作出的简图。

解析：解方程得，，

∴函数的零点为，1，。

画出函数的简图，如图所示，从图象可以看出：

当时，；当或时，。

故函数的零点为，1；

时，的取值范围为；

时，的取值范围为。

小结：一元二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，且在任意两个相邻的变号零点之间所有函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解一元二次不等式。

 

3、用二分法求方程的近似解

例5、用二分法求函数的一个正零点（精确到0.1）。

分析：按照用二分法求方程近似解的一般步骤求解。

解析：由于要求的是函数的一个正零点，因此可以考虑首先确定一个包含正零点的恰当区间，如，，，故可取区间为计算的初始区间（当然也可以），用二分法逐次计算，列表如下：

区间	中点	中点函数值

由上表计算可知，区间的长度，所以可以将的近似值作为函数零点的近似值。

小结：在用二分法求函数零点时，若函数能因式分解，可先将其因式分解，进而求得零点，再依据零点确定一个包含零点的恰当区间。如本题可将变形为，则函数零点为，，，再根据选取一个恰当区间。