函数对称性与周期性关系

函数对称性与周期性关系

 

【典型例题】

1. 定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有

推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。

证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由

，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。

推论，由显然

[例1] 已知，满足且，当时，比较与的大小。

解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。

当时，   ∴ 即

当时，     ∴ ，即

 

[例2] 函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为        。

解：依条件，设，则，

故

 

[例3] 若的图象关于直线对称，则      。

A.           B.        C.        D.

解：由

得

即

∴

 

[例4] 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为       。

A. 18      B. 12       C. 9        D. 0

解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。

 

[例5] 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（    ）

A.

B.

C.

D.

解：由条件知图象关于直线成轴对称

，

又及时递增

∴ ，故选C

2. 对称性与周期性的关系

（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。

（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。

证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证

（2）由图象关于对称，有① 

又由图象关于点对称，有，

∴ ，，即

以代有②

由①和②  ③

以代有

又由③式 得证

特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数

推论，定义在R上的函数满足

（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。

（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。

证：（1）

（2）

            

 

[例1] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。

解：由（1）（2）知，对任

则，，

 

[例2] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。

解：设

当时，，则

当时，，则

又为偶函数，知

从而

另法：当时，，

当时，，

 

[例3] 函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。

解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根

∵

由周期性可知也为的根

所以方程在区间中至少有

 

[例4] 若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。

证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且

令，则

（1）若，则与在上是减函数矛盾

（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。

 

[例5] 已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。

分析：条件（2）即，即关于点对称

又由是偶函数，故是以为周期的周期函数

解：由条件（2）知，令，则

，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以

 

【模拟试题】

一. 选择题（每小题5分，共50分）

1. 函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，则实数的取值范围是（    ）

A.          B.

C.                D.

2. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是（    ）

A.         B.         C.         D.

3. 已知，且，则满足（    ）

A.               B.         C.         D.

4. 定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

其中正确的不等式序号是（    ）

A. （1）（2）（4）              B. （1）（4）       

C. （2）（4）                     D. （1）（3）

5. 偶函数在上单调递减，则与的大小关系为（    ）

A.             B.

C.             D. 不能确定

6. 已知定义域为R的函数满足有，且，若，则（    ）

A. 2        B. 4        C.             D.

7. 已知定义在R上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A.              B.            C.             D.

8. 已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ）

A. 0.5            B. 1        C. 1.5            D.

9. 函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A.                   B.

C.                   D.

10. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）

A.                   B.

C.                D.

 

二. 填空题（每小题4分，共24分）

11. 定义在R上的函数满足，则

          。

12. 已知函数，则             。

13. 设，，且，那么函数的最大值是 

      。

14. 已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，它们的图象如下图，则不等式的解集为          。

15. 已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是             。

16. 设函数，给出下列命题：

（1）时，为奇函数

（2），时，方程只有一个实数根

（3）的图象关于点对称

（4）方程至多两个实数根

上述四个命题中所有正确的命题序号为           。

 

三. 解答题（共76分）

17. 已知集合，集合

，

其中，设全集，，求实数的取值范围。

18. 求函数的值域。（满分12分）

19. 已知两个函数，

（1）若都有成立，求的取值范围；

（2）若都有成立，求的取值范围。（满分12分）

20. 已知奇函数

（1）确定的值，并证明在R上为增函数；

（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）

21. 已知函数满足，其中，且。

（1）对于函数，当时，，求实数的取值范围；

（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分14分）

 

 

【试题答案】

一.

1. A   2. D   3. B   4. B   5. C   6. B   7. C   8. A   9. B   10. D

 

二.

11. 7    12.    13. 0   14.     15.     16. ①②③

 

三.

17. 解：A：       ∴

B：

    

    

设，则    ∴ ，

若，则，

∴     ∵     ∴    ∴

若，则在上

∴     

∴     ∵

∴      ∴     综上所述：

18. 解：  定义域：R

设，则且   

∴ （）

∵ 函数在上

∴ 当时，  

∴ 函数的值域为

19. 解：∵      

∴

令得，   

                             3

           +         0         －         0         +

       ↑     极大值     ↓   极小值    ↑       111

在上↓，在上↑

（1）∵ 都有成立

∴

（2）∵ 都有成立

∴ ，即      ∴

20. 解：（1）∵ 为R上的奇函数    ∴

∴      ∴

设 

∵ 在R上↑且，在上↑

∴ 在R上↑

（2）∵ 在R上↑，且当时有，

∴ 当时，的值域为（）

∵ 方程在上有解     ∴

∴      即

21. 解：（1）（且）

设，则     ∴

∴

当时，∵ ，    ∴ 在其定义域上↑

当时，∵ ，     ∴ 在其定义域上↑

∴ 且都有为其定义域上的增函数

又∵     ∴ 为奇函数

（1）∵ 当时，

∴

∴

（2）当时

∵ 在上↑且值域为

∴