对一类解三角形问题的反思--挖掘几何关系

问题背景：

1、前两天，我校高三年级刚刚进行了数学学科的第二次测试，在命制试题的过程中，我设置了一道这样的解三角形问题，最后学生的解答情况不如人意，第二个小问，每个班级的正答率只有不到10%。

2、这类由两个三角形拼成一个三角形或四边形的几何类解三角形问题是当下高考的热点问题。这类问题的解法一般比较灵活多样

问题阐述：对于第一个小问边角互化，学生基本已经掌握的很好，在第二问的解答过程当中，学生利用正余弦定理也很熟练，能够算出AC的长度，但是仍然不能正确求解得到AD的值，究其原因，关键就是没能找到AB:BC=AD:DC这个关键的条件，下面我们通过解题分析一起来研究如何挖掘解三角题中的几何关系。

方法一：利用角平分线的性质

角平分线性质的证明可以利用相似三角形来证明，下面给出两种证法：

方法二：利用两个三角形的正弦定理

（给出一个学生的解答）

方法三：利用三角形的面积公式

思路：在等高的情况下，面积比等于底边长的比

方法四：利用两个三角形的余弦定理（解方程过于复杂，容易算错，不推荐）-给出一个学生的解答

这里提出一点思考：其实在这类由一个三角形被切成两个三角形的题目中，是有两个隐藏条件的：第一个是公共边BD，第二个是角BDA 角BDC=180°，那么这两个互补的角正弦值相等，余弦值互为相反数，这类考题在以前佛山模拟考当中曾经常出现。

下面我们再看看几道类似的问题：

1、2018全国一卷

2、2015全国二卷

3、2018年佛山二模理科17题

4、2018年佛山二模文17题

5、2016年佛山二模理17题和今年的一些高考真题