【原创】“三角函数”高考复习之我见

三角函数是高中数学的核心内容之一，也是历年高考考查的热点和重点内容.就三年的全国卷高考题来看，三角函数试题总体稳定，形式略有创新，趋于综合化、试题难度有所提升.既考查学生对基本概念、基本公式的理解和应用，又考查学生化繁为简的运算能力以及数形结合、转化与化归等数学思想方法，试题着眼于考查学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

1.考点分析

总体上看，全国卷对“三角函数”的命题风格是稳定与创新共存，试题所占分值大多控制在15分左右，题型基本是一小一大，两小一大，或三小题，今年新课程1卷三小一大.不难发现，三角函数试题中选择题和填空题难易不一，也会出现在压轴题的位置，解答题的考查一般稳定在解答题的第一题、第二题的位置，如2019年全国3卷文、理科卷，但今年新课程1卷直接放置在第3题位置，说明全国卷解答题的考查顺序存在不稳定因素.

高考全国卷数学试题对“三角函数”内容考查比较全面，题型多样，结构灵活，难度适中.重点考查三角函数的图像与性质，三角恒等变换，解三角形等基础知识的理解和应用，兼顾考查数学能力、数学思想方法以及数学核心素养.

• 对三角函数图象与性质的考查:主要出现在选择题，包括三角函数图象的变换、三角函数的最值问题、三角函数的周期性、单调性、对称性等，着重考查学生的数学运算、直观想象等核心素养以及数形结合思想；
• 对三角恒等变换的考查:选择、填空、解答题都可能会出现，包括同角三角函数的关系、诱导公式、两角和、差、倍角公式等基本概念、基本公式的理解和应用，在选择题、填空题中该部分内容主要考查化简求值，着重考查学生的数学运算核心素养以及转化与化归能力；
• 对解三角形的考查:主要考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角形性质、面积公式等知识解三角形，或与三角恒等变换综合考查；
• 对三角函数与其他知识的综合运用考查：比如2020年全国2卷理科第21题，三角函数结合导数、不等式等值进行考查，难度较大，考查学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养以及化归转化，数形结合思想.

2.试题特点

纵观近几年全国各地区高考数学试卷中的三角函数试题，命题依据《普通高中数学课程标准（2017年）》和《中国高考评价体系》中“一核”“四层”“四翼”的评价要求，三角函数试题重视数学的本质，突出理性思维的引领作用，突出对关键能力的考查.体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.三角函数试题设计科学，不仅考查学生对所学基础知识的掌握情况，而且重视考查学生的观察能力、运算能力、推理判断能力和灵活运用知识的综合能力.具体有以下几方面的命题特点.

1.基础知识的考查突出重点

三角函数是中学数学中重要的基本初等函数，概念、公式众多，对基础知识的考查围绕诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图象和性质、三角恒等变换公式等重点内容进行命题，基础性试题大多数源于教材，平易近人，无违和感，是重要的得分试题.

评注：本题考查二倍角公式和同角三角函数关系，立足从基础知识和基本技能的角度对学生对相关内容的掌握情况进行考查，这类试题可以从教材中找到原型.评注：本题考查二倍角公式和同角三角函数关系，立足从基础知识和基本技能的角度对学生对相关内容的掌握情况进行考查,这类试题可以从教材中找到原型.

评注：此题以三角函数在各象限内的符号为命题内容，除考查学生对基础知识的掌握情况外，还考查学生解决问题的能力. 可以用特殊值进行排除，最终选出正确的结果；也可以由α为的范围推出2α的范围，进而得知sin2α，cos2α的符号；还可以根据二倍角公式cos2α=2cos2α-1，sin2α=2sinα·cosα做出推断，体现出命题的高立意.

2.基本技能的考查强调灵活

三角函数具有丰富的性质，众多的公式体现出相互之间的紧密联系，三角函数试题呈现联系广泛、解法多样的特点，小问题体现大思路，可以体现对素养的考查.

评注：此题的命题背景是已知两边和两边的夹角解三角形，同样是典型的常规问题. 但是在解决问题的过程中，可以由多种方法获得结果，这种多法归一的试题能够实现对基本技能的考查. 本题可以先利用余弦定理解得AB=3，再由余弦定理求得cosB；或者得到AB=3后可以知道△ABC是等腰三角形，再用二倍角公式加以处理；或可以作边BC上的高AD，构造两个直角三角形，实现化斜为直；也可以思路开阔一些，可以构造平面向量进行求解.

评注：在三角形中，通过边角关系求边长和内角，以及周长、面积等三角形的元素是三角函数部分常考的题型. 这种试题结构简单、内涵丰富，解题过程涉及正弦定理和余弦定理的运用，可以用边的视角和角的视角去审视问题. 要运用三角恒等变形公式、基本不等式等简化问题，求解结果，实现对基本技能的考查. 在此题中，求周长有两个视角：从边的角度考虑，周长等于3+b+c，可以利用余弦定理和基本不等式进行处理；从角的视角考虑，运用正弦定理将周长处理成角的函数，然后根据三角公式消去一个角，变成关于一角的三角函数问题。通过选择不同的解决问题的方法，实现对基本技能的考查.

3.函数性质的考查结合图象

由于三角函数具有周期性，图象成中心对称和轴对称，三角函数又具有有界性，所以对三角函数性质的考查往往通过对其图象特殊性的认识来进行.

评注：此题考查三角函数的周期性，由于最小正周期T =2π/ω，题干中并没有说明ω是否大于0，增加了试题的难度. 在题干中只有一个信息，但在图象中还蕴含一个条件，即是余弦函数y = cos x五点画图法中第三象限与第四交界处的零点，而且这个零点靠近原点，列出条件得到ω的值. 可见这类问题的解决要基于学生对函数图象与性质较为深入的理解.

评注：此题以高中的两个重要函数为背景，通过三角函数考查函数的奇偶性、对称性、周期性、最值等一般概念是函数考查的重要形式. 三角函数是具有良好性质的重要函数，利用三角函数考查函数的一般性质，给命题者选择恰当的函数模型提供了丰富的素材，给学生提供了多种解题的途径.

4.开放性试题渐行渐近

题型是试题的呈现方式，是实现考查目的的重要手段，为了体现高考考查目标和考查重点的改革和创新，更好地考查学生的数学能力，高考数学提出了题型创新的要求，多选题、逻辑题、数据分析题、举例题和开放题这5种新题型将逐渐进入高考，在使用新教材的北京、山东、海南等省市，首先采用新的数学考试题型，而且这些题型的创新就运用在三角函数试题上.这些三角函数试题题型新颖别致，能有效考查学生的数学能力，难度适中、区分度良好，将会有效促进中学教学方式的转变.

评注：此题为不定项选择题，因为三角函数是周期函数，所以其表达式有多种等价的形式. 这为命制不定项选择题提供了条件.

评注：这是一道结构不良试题，需要学生选择条件添加到问题之中形成新的问题. 新的问题同样是“不确定”的问题——添加的条件有可能与现有条件矛盾，也有可能与现有条件等价，使得问题无法解决，这需要论证. 当然，添加的条件也可能使问题得到解决，这需要证明和计算. 这种试题的条件不确定，结论也不确定，不同的选择会有不同的结果，学生可以根据自己的理解选择想要的条件，在解决问题的过程中需要学生分析所给出的并不充分的条件，寻找各条件之间的联系. 这种类型的试题是探究性学习方式的一种体现，有利于考查学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.值得注意的是，这几年全国卷在三角函数部分会尝试新题型的命制.

5.三角形中的问题依然常考常新

通过三角函数定量刻画三角形中的边角关系是高中研究三角形的重点，三角形丰富的几何性质为命制三角函数试题提供了非常好的问题情境，以三角形为背景的三角函数试题常考常新，是考试的热点问题.这种类型的试题结构简单、联系广泛、意蕴深刻，是命题的好素材.

评注：这道题考查学生运用向量、正余弦定理等方法研究三角形的边角问题，入口较宽，能测试出不同思维水平学生解决问题的能力差异.在“解三角形”这一块教学中，应以三角形为基本几何图形，逐步让学生建立起解决几何问题的研究系统，使得学生形成解决几何问题的基本方向（或视角），以此促进关键能力的形成.在教学正余弦定理时，证明的多维视角正是解决这道高考题第（2）问的直接示范.当然，2022年全国新高考1卷的第18题让江苏考生领教了原有江苏模式下解三角形的命题风采.

6.综合问题的考查守正创新

高考对三角函数的考查要求一般比较基础，试题的难度一般为基础题和中档题，很少出现在较难试题部分，这与三角函数的地位和教学要求有关.但是，在近几年高考中，三角函数解答题在试卷中的位置发生了变化，甚至出现在压轴题位置.

评注：这种类型的试题以往一般出现在自主招生或数学竞赛之中，现在出现在高考试题中，反映了高考命题观念的变化，说明高考的选拔目标发生了巨大转变，已经从对学科知识的全面评价转变为对学习能力的重点测量，高考成为有力推动选拔有创造力的高素质人才的重要途径. 因此，这种类型的试题将越来越多地出现在高考试卷中. 这种试题往往会对学生的习惯性思维提出挑战.

7.三角函数应用形式多样

三角函数作为重要的基本初等函数，在立体几何、平面向量、解析几何中都有着广泛的应用，对三角函数的考查可以在不同的问题情境中体现，这也是近几年高考试题中三角函数内容的考查特殊之一.

3.复习建议

1.夯实基础, 完善知识网络

高考中三角函数的相关试题大多是基础题和中档题，三角函数试题得分的高低，与数学考试成功与否关系重大. 因此，在三角函数的复习中，一定要夯实基础知识和技能，理清相关的数学概念，把掌握三角函数的图象和性质，熟练运用三角恒等变换公式，精通解三角形的各种方法作为主要目标. 根据三角函数知识的特点，通过适当的回顾与总结，以整体的观念建立各种函数之间的联系，以及各类公式之间的相互关系，形成有逻辑的三角函数知识结构体系. 通过具体问题，训练学生及时找到解决问题所需的知识内容和具体方法.在三角函数定义复习中，可以引导学生呈现如图所示知识网络，让学生在“定义”的引领下回顾知识单元.

2.依托教材，研究典型例题

近年高考中一些三角试题是通过课本例、习题演变而来, 采用置换情境、组合、嫁接等手段来提高试题的综合性与命题背景, 这样的命题方式使学生容易入手，但完整解决整道题需要在复习时不能忘“本”.

这道题与人教A版必修第二册P35·例12完全对接.

无论是课标还是教材，都建议充分发挥单位圆的作用，借助单位圆的几何直观，选择不同的方式推导两角和差正余弦公式，利用向量数量积推导公式是重要的方法之一.本题实质就是运用单位圆上的点及数量积坐标运算推导两角和正、余弦公式，高考题的结构与教材（如人教A版必修第二册P35例12）这部分内容完全对接，呈现方式与解题过程也与教材一脉相承.

这道高考题的情境与人教A版必修第二册P51练习第2题的情境如此相似，当然测试知识点也是一致.

2022年全国新高考1卷第18题的题干就是教材中的例题.

这类试题引导教学要重视对知识发生过程的复习，将复习的重心放到知识的生成中去，而不是用单纯解题活动代替知识的理解.

3.提炼模型，建立解题大观念

模型是没有背景的规律载体, 应该是具有通用性的大观念.只有在复习中引导学生不断感悟，不断运用这样的大观念解决问题，形成研究几何问题的基本范式，进而形成积累基本活动经验.一旦有了活动经验的引领，学生的数学学习将成为有目的性、有方向性的活动，进而就能从容应对这类高考题.如定角模型，即在△ABC中，已知角A和其对边a的三角形，考虑在这样的三角形中周长、面积、边角之间的关系等问题. 2020年全国Ⅰ卷文科第18题、全国Ⅱ卷文（理）科第17题、浙江卷第18题、天津卷第16题都是以定角模型为背景设计的试题.

因此，在复习中要抓住典型问题，以记忆换技能，以综合提能力，最终提高学生分析问题和解决问题的能力.再如复习三角形时，如下图这样的模型（有人称“爪型模型”）应该花时间和力气重点突破，让学生熟练感悟其中的思想方法.

只有在教学中引导学生不断感受上述研究模型，不断运用这样的大观念解决问题，形成研究几何问题的基本范式，进而形成积累基本活动经验.一旦有了活动经验的引领，学生的数学学习将成为有目的性、有方向性的活动，进而就能从容应对这类高考题.

4.引导梳理，融汇才能贯通

复习中，我们可以让学生从做过的习题间去寻找联系, 运用“框图”直观形象地勾勒出解决这些相似或相关联问题的基本模式和基本途径,形成流畅而自然的思维走向, 以找到贯通它们之间的“基本路线”.如同角三角函数关系的框图梳理.

或者针对某类知识（方法）进行整体的梳理.如三角函数基本类型的梳理：

5.注重规范，重视严谨表达

三角函数的复习过程中自始至终都要提醒学生“规范”，要注意角的范围，要注意公式的体现，要注意一些常规操作的“等价”等.在方法上要注重通性通法，不能用一些“二级”结论在角的处理上，要有消除角的差异的“变角”意识，而不能盲目死解.