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定 义 新 运 算
导言:
加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则，我们都很熟悉，在近年来竞赛中，出现了一种由一些新定义的运算符号导出的运算。即定义一些别的运算，如◎表示一种的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-(a+b)，这种新运算的意义就是：a◎b是两个数的积减去两个数的和所得到的差。这就是定义新运算问题。这里所说的“定义”，就是按照规定的运算法则进行计算。解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算。这类题目目的是培养学生的数学阅读理解能力
例1．规定a★b=5a-3b，其中a、b是自然数，求
（1）
6★8的值
（2）8★6的值 （3）（3★2）★4
（4）x★7=19
解析：此题规定了一种新运算符号（★），我们要理解它的意思，a★b表示a的5倍减去b的3倍，把表示a、b的数代入等式右边的（5a-3b）中，并算出结果来。
（1）此时，a=6，b=8，那么a★b=6★8=5×6-3×8=6
（2）此时，a=8，b=6，那么a★b=8★6=5×8-3×6=22
（3）在计算（3★2）★4时，运算的顺序是先算括号内的，再算括号外
（3★2）★4=（5×3-3×2）★4 =9★4=5×9-3×4=33
（4）x★7=19 即
5x-3×7=19
5x-21=19 5x=40 x=8
例2．如果2♀3=2+3+4，5♀4=5+6+7+8，
求（1）9♀6的值（2）解方程：x♀3=15
解析：♀表示求连续自然数的和，♀前的数表示连续自然数的第一个数，♀后面的数表示连续自然数的个数
（1）9♀6=9+10+11+12+13+14=69
（2）x♀3=15 即
x+（x+1）+（x+2）=15 解得x=4
例3．规定□的运算法则如下，对于任何整数a，b，有
（1）当a+b≥10时，a□b=2×a+b-1
（2）当a+b<10时，a□b=2×a×b
求(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）的值
解析：这道题实际上定义了两种运算，必须根据a、b两数的和的大小，来确定对它们施行哪种新运算。1□2、2□3、3□4、4□5这几个中，a、b的和都会小于10，运用（2）中的新运算，即a□b=2×a×b；而5□6、6□7这两个中，a、b的和大于10，运用（1）中的新运算，即a□b=2×a+b-1
所以，(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）
=2×1×2+2×2×3+2×3×4+2×4×5+（2×5+6-1）+（2×6+7-1）
=4+12+24+40+15+22=117
例4．有一个数字符号“※”使下列算式成立：6※2=12，4※3=13，3※4=15，5※1=8，按此规律计算：8※4的值
解析：仔细观察和分析这几个算式，可以发现：6※2=12=6+2×3，4※3=13=4+3×3，3※4=15=3+4×3，5※1=8=5+1×3，即符号※前面的数加上符号※后面数的三倍，a※b=a+3b。所以
8※4=8+4×3=20
例5．小明来到红毛族探险，看到下面向个红毛族的算式：
8×8=8，9×9×9=5，9×3=3，(93+8)×7=837
老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+、-、×、÷、（）、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们的写法相同，但代表的数却不同。
请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57=(
)
解析：对红毛族算式“8×8=8”的理解是：两个相同的数相乘，积还是这个数，说明算式中的“8”相当于我们的数字“1”或“0”；对红毛族算式“9×3=3”的理解是：一个数乘以另一个数，积还是另一个数，可推出红毛族算式中的“3”相当于我们的数字“0”，那么“8”相当于我们的数字“1”。对红毛族算式“9×9×9=5”的理解是：三个相同的数相乘，积还是一位数，说明算式中的“9”相当于我们的数字“2”算式中的“5”相当于我们的数字“8”。根据红毛族算式“(93+8)×7=837”我们很容易推出算式中的“7”相当于我们的数字“5”。
所以，红毛族的“89×57”换成我们的算式就是“12×85=1020”，再把我们的数字“1020”换成红毛族的数字就是“8393”，即89×57=8393
例6．有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置C：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6。这些装置可以连接，如装置A后面连连接装置B，写成A∮B，输入4，结果是24；装置B后面连接装置A，就写成B∮A，输入4，结果是35；
（1）装置A∮C∮D连接，输入19，结果是多少？
（2）装置D∮C∮B∮A连接，输入什么数字，可得结果96
解析：由“装置A后面连连接装置B，写成A∮B，输入4，结果是24”，我们可清楚24是怎么算出来的，24=4×5+3。即，输入一个数后，先进行前面装置的运算，运算结果再进行后一装置的运算。
（1）（19×5）÷4-6=17.75
（2）倒推法。（96÷5-3）×4+6=70.8
小结:正确理解新运算所表示的意义,严格按照规定的法则进行运算.这是正确解答这类问题最关键的思维
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