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简
便 计 算
导言:
好多学生对简便计算的态度是这样的:题目要求简便计算时,知道该怎么办,但别的题目中涉及计算时,却会把它抛之脑后.举个例子,在计算圆柱的体积时,比如说遇到这样计算:3.14×2.5²×8,很多学生都会这样算:2.5×2.5=6.25,再3.14×6.25=19.625,然后19.625×8=157.这样计算,费力又容易出错;但如果我们在计算时有这样一种念头,能不能简便计算,这一过程就容易多了,3.14×(2.5×2)×(2.5×4)=157.不是我们的学生不知道凑整法,而是没想到这时候也会用简便方法!问题出在哪?就出在思考当中少了简便的这种思维.所以说,简便计算,与其说是一类数学题型,不如说是一种数学思维.只要有计算,就应该首先想到这一思维.正如用方程解应用题一样.
(由于博客文档中,分数输不了,所以,以下题目中所涉及分数或带数分别这样来表示:九分之八表示:8/9,五又九分之八表示:5又8/9)
整合小学阶段的简便方法,思路不出以下几种:
(一).凑整法
(1).加法中的凑整法:把靠近整十、整百、整千等的数变化整十、整百、整千等
例1.
9+99+999+9999+99999+999999
解析:从9中分别借”1”给其他的五个数,这五个数就成了:100,1000,10000,100000,1000000,它们的和是:1111100,9借完后自己就剩下4,所以最后的和是1111104
例2．
0.01-0.02+0.03-0.04+······+0.97-0.98+0.99
解析:仔细观察,发现:0.01+0.99=1,-0.02-0.98=-1···0.47+0.53=1
-0.48-0.52=-1
,每四个数经过这样的组合,它的和是0,99个数中,有24个这样的组合,它们的和都是0,最后,只剩下0.49-0.50+0.51=0.5
(2).乘除法中的凑整法:充分利用三个算式:2×5=10,25×4=100,125×8=1000
例3.
0.25×4.73×0.125×320
解析:看到式子中有“25”,“125”这样的数字,不管是整数还是小数,或是以后学的百分数,我们都是充分利用上面那三个算式,分别拆出“4”,“8”与之相乘,以便到凑整简便的目的.此题中,320=4×80,所以原式=(0.25×4)×4.73×(0.125×80)=1×4.73×10=47.3
例4.
29.36÷12.5÷0.8
解析:原式=29.36÷(12.5×0.8)=29.36÷10=2.936
(二).约分
约分是指在分数中,利用分数的基本性质,把分子,分母中相当的数同时除掉.基础数学中出现的这一情况,一般是分子是一个数,分母也是一个数字,很好理解.但在奥数中,分子,分母可能是一个算式而不止一个数,要灵法运用.牢牢抓住约分的基本特征:分子分母有相同的,可能相同的会是一个数字,也可能是一个算式
例1.
( 8/9 + 10/7 + 6/11 )÷( 3/11 + 4/9 + 5/7 )
解析:仔细观察,发现:被除数与除数中的分数的分母分别相同,分子分别是2倍关系,可以用约分这一思路来解题.8/9 = 2 × 4/9,
10/7 = 2 × 5/7, 6/11 = 2 × 3/11,应用乘法的分配律,8/9 + 10/7 + 6/11 = 2 × (
4/9 + 5/7 + 3/11 ),这时,被除数和除数就有相同的:3/11 + 4/9 +
5/7,可以约分了,最后的结果就是2
例2.
238÷238又238/239
解析:仔细观察,发现:238在被除数和除数中都出现,但由于都出现在分子位置,不能约数,唯一的办法是把除号乘号,后面的带分数中的238就由分子变分母了.注意:分数除法变乘法时,如果除数是带分数的,首先应化成假分数,再求出倒数
原式=238÷(238×239+238)/239
=238÷(238×240)/239
=238 × 239/(238×240)
=239/240
例3.(1988+1989×1987)/(1988×1989-1)
解析:仔细观察,发现题中有很多相同或相差不大的数字,可以用约数的思路来解题
方法一:把分子朝分母方向转化,分母保持不变
分子是:1988+1989×1987
=1988+1989×(1988-1)
=1988+1989×1988-1989
=1989×1988-1
这时,分子与分母完全相同,可以约分,原式=1
方法二:把分母朝分子方向转化,分子保持不变
分母是:1988×1989-1
=(1987+1)×1989-1
=1987×1989+1989-1
=1987×1989+1988
这时,分母与分子完全相同,可以约分,原式=1
例4. 27×
15/26
原式=(26+1) × 15/26
=26 × 15/26 + 1× 15/26
=15 + 15/26
=15又15/26
例5. 73又1/15 × 1/8
原式=(72 + 1又1/15 )×
1/8
=(72 + 16/15 ) × 1/8
=72 × 1/8 + 16/15 × 1/8
=9 + 2/15
=9又2/15
(三).三大定律
乘法交换律:a×b=b×a,注意:只用在同一运算顺序中
(分数乘法交换律:a/b ×
c/d = c/b × a/d:分子与分母都可以分别互换)
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c),注意:只用在同一运算顺序中
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c 或 a×b+a×c=
a×(b+c)
除法分配律:(a+b)÷c=a÷c+b÷c 或
a÷c+b÷c=(a+b)÷c
注意:以下两种都是错的a÷(b+c)=a÷b+a÷c
(a+b)÷(c+d)=a÷c+b÷d
在三大定律中,分配律是运用最多的.特别要注意
例1.
30×( 1/5 + 1/3 )
原式=30 × 1/5 +
30 × 1/3
=6+10 = 16
例2.
2/3 × 5/7 + 2/3 × 2/7
原式=2/3 × ( 5/7 + 2/7 )
=2/3×1 = 2/3
例3. 3/4 × 1/9 + 1/4 ÷
9
原式=3/4 × 1/9 + 1/4 × 1/9
=( 3/4 + 1/4 )× 1/9
=1 × 1/9 = 1/9
从上面三道例子来看,分配律最主要的特征是:各项中有相同的;但在灵法运用中,如果没有相同的,但有相近的时候,我们也是用分配律这一思维,首先先把相近的转化成相同的,再运用分配律进行简便运算.
例1.
1250×0.037+0.125×160+12.5×2.7
原式=1250×0.037+1250×0.016+1250×0.027
=1250×(0.037+0.016+0.027)
=1250×0.1
=125
例2.
5/6 × 1/13 + 5/9 × 2/13 + 5/18 × 6/13
解析:原式中尽管没有相同的,但仔细观察发现:每一项中,分母有相同的13,分子有相同的3,可根据分数乘法的计算法则和乘法的交换律,5/6
× 1/13= 1/6 × 5/13, 5/9 × 2/13 = 2/9 × 5/13, 5/18 × 6/13 = 6/18 ×
5/13
原式= 1/6 × 5/13 + 2/9 × 5/13 + 6/18 × 5/13
=( 1/6 + 2/9 + 6/18 ) × 5/13
=13/18 × 5/13
=5/18
(四)拆项求和
把某些分数或全部分数拆成两分数相减形式,目的是前后分数相抵消
例:1/(1×2) +
1/(2×3) + 1/(3×4) +···+ 1/(99×100)
解析:1/(1×2) = 1-
1/2, 1/(2×3) = 1/2 - 1/3, 1/(3×4)= 1/3 -1/4,···
1/(99×100) = 1/99
- 1/100
原式=1 - 1/2 + 1/2
- 1/3 + 1/3 - 1/4 +···+ 1/99 - 1/100
=1 -
1/100
=99/100
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