写 在 前 面 20 18 众所周知,一次函数图像中,较难的题还是行程问题.其中常见的有相遇,追及问题,涉及出发时间先后的不同,途中休息的情况.而最难的则是两人之间距离随时间的变化问题,本讲拟以3道中考真题为例,让你会3题,通一片. 例1:基础篇 例1: (2011· 南通) 甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进,A、B两地间的路程为20km.他们前进的路程为s(km),甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息,下列说法正确的是( ) A.甲的速度是4km/h B.乙的速度是10km/h C.乙比甲晚出发1h D.甲比乙晚到B地3h 笔者追问:甲出发几小时后,两人相距2km? 分析: 本题是一个常规的追及问题,两人出发有先后.当然,从图像中,我们必须明白的第一个重要知识点:运动问题中,若涉及的是出发时间与行驶路程的函数关系,通常直线的倾斜程度表示的是速度. 甲全程用4小时,速度可求. 乙全程用1小时,速度也可求. 至于甲比乙早出发,晚到的时间,都可在图像上看出. 追加的问题: 两人相距2km,在图像上,应该理解为,相同时刻,即横坐标相同时,对应的行驶路程之差,即纵坐标之差为2,显然分3种情况: (1)乙未出发 (2)乙出发未追上甲 (3)乙出发后超过甲 解答: v甲=20÷4=5km/h,A错 v乙=20÷(2-1)=20km/h,B错 乙比甲晚出发1h,C对,甲比乙晚到B地2h,D错 追问:如图,分别求出y甲,y乙的解析式 设y甲=k1x,把(4,20)代入得 y甲=5x 设y乙=k2x+b,把(1,0)(2,20)代入得 y乙=20x-20 (1) 乙未出发, 5x=2,x=0.4 (2) 乙出发未追上甲, 5x-(20x-20)=2,x=1.2 (3)乙出发后超过甲, (20x-20)-5x=2,x=1.4 答:甲出发0.4,1.2,1.4小时后,两人相距2km. 配套练习: 小明骑自行车由甲地前往乙地,速度为10km/h,小强在小明出发3h后,骑摩托车沿相同的路线从甲地前往乙地,速度为40km/h,已知两地间的路程是80km,请你分别列出两人所行使的路程与所用的时间之间的函数表达式,并回答下列的问题: (3)小强出发几小时后,两人相距20km? 解答: (1) y小强=40x-120(3≤x≤5) y小明=10x(0≤x≤8) (2) 40x-120=10x, x=4, 4-3=1, 小强出发一小时后追上. 例2:常规篇 例2: (2015·乌鲁木齐) 一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发,货车匀速行驶至乙地,小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程y1(km),小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示. (1)甲、乙两地相距多远?小轿车中途停留了多长时间? (2)①写出y1与x的函数关系式; ②当x≥5时,求y2与x的函数关系式; (3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇?相遇时与甲地的距离是多少? 分析: (1)不难,根据纵坐标的最大值,可知甲乙两地的距离.根据函数值不变化时,横坐标的范围,可知停留时间. (2)y1与x是正比例函数关系,代入一个点的坐标即可.y2稍难,表面看,只知道一个点的坐标(6.5,420),但横坐标为5.75时,两函数图像相交,求出货车此时的路程,即是小轿车的路程,从而两点确定,用待定系数法可求. (3)由图像可知,首次相遇时,小轿车停着,关键是求出小轿车行驶了多少路程后停止,并代入到y1中,可求相遇时的时间. 解答: (1)由题图可知,甲、乙两地相距420 km,小轿车中途停留了2 h. (2)①y1=60x(0≤x≤7); ②当x=5.75时,y1=60×5.75=345, 当x≥5时,设y2=kx+b 把(5.75,345),(6.5,420)代入 解得y2=100x-230 ∴当x≥5时,y2=100x-230 (3)当x=5时,y2=100×5-230=270, 即小轿车在3≤x≤5时停车休整,离甲地270 km. 60x=270,x=4.5 答:货车出发4.5 h首次与小轿车相遇,相遇时距离甲地270 km. 配套练习: 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的目的地,乙车比甲车晚出发2h(从甲车出发时开始计时).图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系对应的图象(线段AB表示甲车出发不足2h因故障停车检修).请根据图象所提供的信息,解决以下问题: 分析: (1)(2)不难,只分析(3),易知交点P表示第一次相遇,即甲车故障停车检修时相遇,点P的横坐标表示时间,纵坐标表示离出发地的距离,要求时间,则需要把点P的纵坐标先求出;而点P的纵坐标与点B的纵坐标相等,点B又在线段BC上,求出BC对应的函数关系式,问题迎刃而解. 解答: (1)设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1, (2)当x=6时,y=60×6-120=240, (3)设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2, 解得y=120x-480 当x=4.5时,y=120×4.5-480=60. 答:乙车出发1小时,两车在途中第一次相遇. 例3:提高篇 例3: (2013· 淮安) 甲、乙两地之间有一条笔直的公路L,小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y1米,小亮与甲地的距离为y2米,小明与小亮之间的距离为s米,小明行走的时间为x分钟.y1、y2与x之间的函数图象如图1,s与x之间的函数图象(部分)如图2. 分析: 本题基本属于运动问题的终极版了,难度已经很大,如果你能搞定,所有的一次函数运动问题都不在话下. 首先我们根据y与x的函数图像,分析出,端点是原点的射线是小明步行的函数图像,剩下的是小亮的函数图像. 由图像可知,甲乙两地相距2000m,小明步行40分钟,从甲地到乙地,可知小明的速度是50m/分,小亮骑车10分钟,从乙地到甲地,可知小亮骑车速度为400m/分. (1) 即求下图中,最左侧虚线部分的函数解析式. 10至24分钟时,小亮休息,之后原速追及小明,可知下图中点线部分的解析式的k,求出小明步行的函数解析式,联立方程组,可求小亮追上小明的时间.由于此时两人都是从甲地往乙地,则两人之间的距离s,可看作此时两人距离甲地的路程之差! (2) 即求下图中,过原点的直线解析式与下方点线部分的函数解析式之差!需要注意自变量取值范围,到小亮追上小明的时间截止. (3) 图2中的a,表示两人第一次相遇的时间,那么,只需求出图1中,虚线与过原点的直线的交点的横坐标即可.而之后补充函数图像,我们要抓几个关键点,10至24分钟,小亮停在甲地,则此时的图像应与图1中,10至24分钟的图像一样,求出24分钟时点的坐标是第一个关键点,32分钟时,小亮又追上小明,则(32,0)是第二个关键点,之后两人一起步行,距离为0.32至40分钟时,函数值始终为0. 解答: (1)设小亮从乙地到甲地过程中, y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b1, 把(0,2000),(10,0)代入得, y2=-200x+2000 (2)小亮的速度为:2000÷10=200米/分, 设小亮从甲地出发追及小明时, 点线部分解析式为y2=200x+b2 把(24,0)代入得,y2=200x-4800 设小明从甲地到乙地的过程中, y1与x的函数关系式为y1=k1x 把(40,2000)代入得 y1=50x 200x-4800=50x,x=32 s=50x-(200x-4800)=-150x+4800(24≤x≤32) (3)-200x+2000=50x,x=8,即a=8 配套练习: 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行,并以各自的速度匀速行驶,途经配货站C,甲车先到达C地,并在C地用1小时配货,然后按原速度开往B地,乙车从B地直达A地,下图是甲、乙两车间的距离y(千米)与乙车出发x(时)的函数的部分图像. (1)A、B两地的距离是______千米,甲车出发_____小时到达C地; 解答: 本题,以线段图的形式,帮助大家分析整个过程. (1) 由图象可知,A、B两地的距离是300千米,甲车出发1.5小时到达C地; (2) 由图象可知,v乙=30÷(2-1.5)=60km/h,(v甲+v乙)×1.5=300-30, 易知图像中C(2,0),D(2.5,0),E(3.5,210),F(5,300) ∴yCD=60x-120(2≤x≤2.5) yDE=180x-420(2.5<x≤3.5) yEF=60x(3.5<x≤5) 小结: 应该说,这六道题已经将行程问题的基本情况都归纳在内. 知道以下几点,是解题的关键: 1、只涉及一人(车)行驶的图像,倾斜程度多为速度. 2、若两人(车)的两个图像在同一张图中,则交点处表示相遇(追上),将两函数解析式联立方程组可求相遇的时间. 若要求两人何时相距多少,则两解析式之差的绝对值即为多少. 3、对于以两人(车)之间的距离为纵坐标的题目,则需要注意,纵坐标为0处,表示相遇(追上). 都在行驶时,倾斜程度可能是两人(车)的速度和或差,若只一人(车)在行驶,则倾斜程度可能是一人(车)的速度. 若要求两人(车)之间的距离为多少时的时间,则只要让解析式的值为这个距离即可求出. 因接下来是期末复习,故本讲不再设置思考题. 附:第17讲思考题答案 解:由题意得 A(-2,0),B(0,2) C(1,0), D(0,-4) P(2,4) 过C作CE∥y轴交BP于E E(1,3) |
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