2019河南中考一次函数的实际应用专项训练

命题点　一次函数的实际应用

1．(2015·河北T23·10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．

(1)只放入大球，且个数为x_大，求y与x_大的函数关系式(不必写出x_大的范围)；

(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x_小．

①求y与x_小的函数关系式(不必写出x_小的范围)；

②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？

2．(2016·河北T24·10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：

(1)求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；

(2)某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？

(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜想y与x的关系式，并写出推导过程．

3．(2011·河北T24·9分)已知A，B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)，上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：

货运收费项目及收费标准表

(1)汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；

(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y_汽(元)和y_火(元)，分别求y_汽，y_火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)及x为何值时，y_汽＞y_火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)

(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？

重难点1　一次函数的图象信息题

(2018·咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：

①甲步行的速度为60米/分；

②乙走完全程用了32分钟；

③乙用16分钟追上甲；

④乙到达终点时，甲离终点还有300米．

其中正确的结论有(A)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】　首先注意，y表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到3个确定的点(0，0)，(4，240)，(16，0)．点(4，240)的实际意义就是，甲4分钟步行了240米；(16，0)的实际意义是甲步行16分钟时，两人距离为0，即乙追上了甲，所以乙12分钟追上甲；同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等；乙走完全程时，甲走了34分钟，走了2 040米，距离终点360米．

【变式训练1】　(2018·丽水)某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是(D)

A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱

B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱

方法指导 ：解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决”的过程．其中最重要的环节是利用数形结合思想解读函数图象，其方法是：

(1)明确“两坐标轴”所表示的意义；

(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；

(3)弄清上升线和下降线所表示的意义．注意，y表示的是两人之间的距离．

重难点2　一次函数的实际应用

(2018·梧州)我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．

(1)求A，B两种型号电动自行车的进货单价；

(2)若A型电动自行车每辆售价为2 800元，B型电动自行车每辆售价为3 500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；

(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

【思路点拨】　(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润＝A型的利润＋B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题．

【变式训练2】(2017·临沂改编)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m³)之间的关系如图所示．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)按照新标准，用户A一个月用水10 m³，需缴纳水费多少元？用户B一个月缴纳水费51元，用水量是多少？

(3)若某用户二、三月份共用水40 m³(二月份用水量不超过25 m³)，缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？

方法指导：

1．根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，本题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式．

2．一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值．

易错点：1．解分式方程注意要检验．

2．注意“某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆”，是用来求自变量取值范围的．

中招演练

1．若弹簧的总长度y(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是(B)

A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm

2．(2017·德州)公式L＝L₀＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L₀代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)

A．L＝10＋0.5P B．L＝10＋5P

C．L＝80＋0.5P D．L＝80＋5P

3．(2018·河北二模)超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满，且无剩油)；当日促销活动：购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元．设购买A型瓶x(个)，所需总费用为y(元)，则下列说法不一定成立的是(C)

4．(2017·唐山路北区模拟)甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y(吨)与清雪时间x(时)之间的函数图象如图所示．

(1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；

(2)求此次任务的清雪总量m；

(3)求乙队调离后y与x之间的函数关系式．

5．(2018·河北模拟)石家庄市为积极响应中央文明办关于创建全国文明城市的通知，积极组织运输队清理城市垃圾．某运输公司承担了某标段的垃圾运输任务，派出大、小两种型号的垃圾运输车，已知1辆大型垃圾运输车和2辆小型垃圾运输车每次共运20吨，2辆大型垃圾运输车和5辆小型垃圾运输车每次共运45吨．

(1)1辆大型垃圾运输车和1辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨？

(2)该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共30辆参与垃圾运输任务，已知1辆大型垃圾运输车运输花费是500元/次，1辆小型垃圾运输车运输花费是300元/次．若每次运输垃圾总量不少于199吨，则每次运输的运费最少是多少？

解：(1)设1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾x吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾y吨，根据题意，得 2x＋5y＝45，x＋2y＝20，

解得y＝5.x＝10，

答：1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾10吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾5吨．

(2)设派出大型垃圾运输车a辆，则派出小型垃圾运输车(30－a)辆，根据题意，可得

10a＋5(30－a)≥199，解得a≥9.8.

设运输总花费为W元，则W＝500a＋300(30－a)＝200a＋9 000.

∵200>0，∴W随a的增大而增大．

又∵a≥9.8，且a为整数，

∴当a＝10时，W取得最小值，最小值为200×10＋9 000＝11 000(元)．

答：每次运输的运费最少是11 000元．

6．甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地，设小明与甲地的距离为y₁米，小亮与甲地的距离为y₂米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟，y₁，y₂与x之间的函数图象如图1所示，s与x之间的函数图象(部分)如图2所示．

(1)求小亮从乙地到甲地过程中y₂(米)与x(分钟)之间的函数关系式；

(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式；

(3)在图2中，补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象，并确定a的值

解：(1)设小亮从乙地到甲地过程中y₂与x的函数关系式为y₂＝kx＋b，由图象，得

0＝10k＋b，2 000＝b 解得b＝2 000.k＝－200，

∴y₂＝－200x＋2 000.

(2)由题意得，小明的速度为2 000÷40＝50(米/分)，小亮的速度为2 000÷10＝200(米/分)．

∴小亮从甲地出发追上小明用时为24×50÷(200－50)＝8(分钟)．

∴24分钟两人距离为24×50＝1 200(米)，相遇时间为24＋8＝32(分)，s＝0，设s＝k′x＋b′，则

0＝32k′＋b′. 1 200＝24k′＋b′，

解得b′＝4 800. k′＝－150，

∴s＝－150x＋4 800.

(3)如图所示，

当0≤x≤10时，y₁＝50x，y₂＝－200x＋2 000，

令y₁ ＝y₂，解得x＝8.

∴a的值为8.