小学奥数-3分钟学会牛吃草问题

英国的著名物理学家牛顿曾编出过这样的一道题：农场上有一片青春，每天都生长的一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，供给16头牛吃，可以吃10天，期间草一直生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这个问题因牛顿提出得名，叫牛顿问题。人们也把这类问题称作牛吃草问题或者是消长问题。

关键词：草的增长速度、原有草量、每天实际消耗的原有草量、实际消耗的总草量

解决这类问题的关键是要从变化中找到不变量。需要考虑的是在牛吃草过程中，草是不断变化的（或增长或减少）。但是农场上原有草量是不变的，每天变化的（增长或减少）草量也是不变的。根据这些不变量，我们推出牛吃草问题的四个基本公式。

1.草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数-相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）

2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的增长速度×吃的天数

3.吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的增长速度）

4.牛头数=原有草量÷吃的天数+草的增长速度

解题步骤：

1. 求出每天的草的变化量
2. 求出农场原有草量
3. 求出每天实际消耗的原有草量
4. 求出牛可吃的天数

精讲1：牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长，这片青草可以供给10头牛吃20天，供给15头牛吃10天。那么供给25头牛吃几天？

分析：设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中，草每天都增加。牛吃草的天数越多，长出来的草就越多。现在10头牛吃20天，15头牛吃10天，10×20-15×10=50份，（如若理解不了这里，可以这样想：原有草量+20天增加草量=10头牛20天吃的总量=10×20份，原有草量+10天的增加草量=15头牛20天吃的总量=15×10份）多出来的50份就是（20-10）天的长草量。那么（10×20-15×10）÷（20-10）就是每天的长草量。

每天的长草量:（10×20-15×10）÷（20-10）=5（份）

牧场原有草量：10×20-5×20=100（份）或者15×10-5×10=100（份）

牧场25头牛每天实际消耗的原有草量：25-5=20（份）

25头牛可吃多少天：原有草量÷牧场25头牛每天实际消耗的原有草量=25头牛可吃的天数

100÷20=5（天）

解：（10×20-15×10）÷（20-10）=5（份）

10×20-5×20=100（份）

100÷（25-5）=5（天）

答：可以供给25头牛吃5天。

精讲2：天气渐渐变冷，牧场上的草不仅不增长反而以固定的速度减少。已知牧场上有一片草地，草地上的草可供给20头牛吃5天，15头牛吃6天，照这样计算可供给多少头牛吃10天？

分析：设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中，由于天气变冷，草每天都均匀的减少。草每天减少的量是固定的。那么原有草量-5天草的减少的量=20头牛吃5天的草量=20×5=100份。原有草量-6天草的减少量=15头牛吃6天的草量=15×6=90份。那么（100-90）÷（6天草的减少量-5天草的减少的量）就是草每天的减少量。

每天草的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份。

原有草量：20×5+10×5=150（份）或者15×6+10×6=150（份）

​牧场10天实际消耗的原有草量：10×10=100（份）

10天可供多少头牛吃:（150-100）÷10=5（头）

答：可供给5头牛吃10天。

精讲3：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到了楼上，女孩子用了6分钟到了楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？

分析：这个问题是典型的牛吃草问题的变形。我们首先要找到不变量即自动扶梯的速度是不变的。上楼的速度可以分为两部分，一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯本身的速度。男孩5分钟走了20×5=100（级）台阶，女孩6分钟走了15×6=90（级）台阶。女孩比男孩少走了100-90=10（级）。但是多用了6-5=1(分钟) 。（重点说明：扶梯的台阶总数=5分钟男孩走的台阶数+5分钟扶梯走的台阶数，扶梯的台阶总数=6分钟女孩走的台阶总数+6分钟扶梯走的台阶总数）说明扶梯1分钟走10级。由于男孩5分钟到楼上，上楼的速度是自己的速度+扶梯的速度。所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）。

解：自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5）=10（级）

自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级）

答：该扶梯共有150级台阶。