【原】七上19讲 《余角补角对顶角》知识点大网罗

写在前面

本讲，我们继续来研究角，重点对余角，补角，对顶角作一个深入的复习归纳，这两节的内容难度不大，主要在于解答题的书写和一些概念的判断．

一、知识梳理

1、余角概念：

如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，简称互余．

2、补角概念：

如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补．

3、注意点：

互为余角、互为补角仅仅表明了两个角的数量关系，并没有限制角的位置关系．

4、邻补角概念：

两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．

5、同一个角的补角与余角的关系：

同一个角的补角比它的余角大 90°．

6、余角补角的性质：

同角的余角相等，同角的补角相等．

等角的余角相等，等角的补角相等．

7、对顶角概念：

一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．(对顶角由两条相交直线产生)

8、对顶角相等．

9、数对顶角的对数：

二、典型例题

例1：判断正误：

(1)一个角一定小于它的余角，也小于它的补角．

(2)如果两个角互补，那么这两个角是锐角和钝角．

(3)如果三个角的和为180°，则这三个角互补．

(4)如果两个角相等，那么她们的补角也相等．

(5)若∠1＝∠2，则∠1和∠2是对顶角．

(6)互补的角就是平角．

(7)互余的两个角一定都是锐角．

(8)不相等的两个角不是对顶角．

解析：

(1)错误，如60°大于它的余角30°，100°大于它的补角80°．

(2)错误，两个角可以都为直角．

(3)错误，互补是两个角之间的数量关系．

(4)正确．

(5)错误，比如一个角的角平分线，把这个角分成2个相等的小角不是对顶角．

(6)错误，两个互补的角的度数之和是平角的度数．

(7)正确．

(8)正确．

例2

解析：

例3：

一个角的余角比它的补角的一半还少20°，这个角的度数为______°．

分析：

这种题目难度不大，可以直接解设这个角的度数为x，表示出这个角的余角和补角，根据题目，列出方程．

当然本题还有一种做法，即设这个角的补角度数为x，表示出这个角的余角，同时，还要利用一个隐含的数量关系，同一个角的补角比它的余角大 90°．

解答：

三、思维提升

1、找余角补角

例1：

如图，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？

分析：

找互余的角，首先要找直角内部的射线将直角分成的2个角，或者可以形象的称为“邻余角”．

其次，再找有没有其他角和“邻余角”中的一个相等，则和另一个也互余．

找互补的角，首先找找有没有邻补角．再找有没有其他角和邻补角中的一个相等．

这里∠DOE相邻的余角有2个，∠EOF，∠DOB，再找找有没有和这两个角相等的角．

∠DOE在图中没有邻补角，因此，只能找和它相等的角，不难发现是∠AOF，找∠AOF的邻补角，再找和∠AOF的邻补角相等的角．

解答：

∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BOE＝90°

∠3＋∠4＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠2＝∠4，

∵OB平分∠COD，

∴∠4＝∠5，∠2＝∠5，

∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5；

∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠3＝∠1

∵∠1＋∠BOF＝180°，

∠BOF＝∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠3＋∠4＝∠EOC，

∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC．

1、找余角补角

例2：

如下图，AOE是一条直线，从点O引射线OB，OC，OD，若∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，那么图中互余的角有哪几对？互补的角有哪几对？

分析：

思路与例1一致，先找位置相邻的余角，找邻补角，然后找有没有其他角与其中一个相等的角，对于两个直角，也别忘了它们互补．

解答：

∵∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°

∴∠1＋∠2＝90°

  ∠2＋∠3＝90°，

  ∠3＋∠4＝90°，

  ∠1＋∠4＝90°，

互余的角有4对，

∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

∵∠1＋∠DOE＝180°，∴∠3＋∠DOE＝180°，

   ∠4＋∠AOB＝180°，∴∠2＋∠AOB＝180°，

∠AOC＋∠COE＝180°，

∠AOC＋∠DOB＝180°，

∠DOB＋∠COE＝180°，

互补的角有7对，

∠1与∠DOE，∠3与∠DOE，

∠4与∠AOB，∠2与∠AOB，

∠AOC与∠COE，

∠AOC与∠DOB，

∠DOB与∠COE．

1、找余角补角

例3：

如图，直线 AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，

(1)写出∠DOE的补角；

(2)要若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数；

(3)求∠DOF的度数？

分析：

(1)要找∠DOE的补角，可以找它的邻补角，也可以找与∠DOE相等的角，再找出它的补角．

(2)要求∠AOD，不一定非要用角度之和，可以用180°减去∠BOD，要求∠EOF，可以求∠AOE，再求其一半．

(3)双角平分线问题，找到出现两次的边OE，则∠DOF看作∠FOE＋∠DOE，利用一半加一半可求．

解答：

2、用方程思想

例1：

如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠BOF＝30°，则∠AOC＝______°．

分析：

要求∠AOC，其实就是求∠BOD．要求∠BOD，根据角平分线条件，可设∠EOD为x.，然后表示出∠EOF，进而表示出∠COE，则∠COE＋∠EOD＝180°，作为方程的相等关系．

解答：

∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE，

∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE，

∴设∠BOE＝x°，则∠BOD＝2x°，

∵直线AB、CD相交于点O，

∴∠AOC＝∠BOD＝2x°，∠EOF＝∠COF＝(x＋30)°，

则∠COF＋∠EOF＋∠DOE＝2(x＋30)＋30＝180，

解得：x＝40，

故∠AOC＝80°．

2、用方程思想

例2：

如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD＝∠BOD，且∠DOF与∠BOF的度数之比为3：1，求∠COE的度数．

分析：

要求∠COE，其实就是求∠FOD．而∠DOF与∠BOD的度数比已知，则可以设x，利用它们的差是∠BOD求解，而∠AOD＝∠BOD，它们又是邻补角，则∠BOD的度数很快可知．

解答：

解设∠BOF＝x°，∠DOF＝3x°

∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝2x°

∵∠AOD＝∠BOD，∠AOD＋∠BOD＝180°，

∴∠BOD＝90°，

2x＝90，x＝45

∠DOF＝135°．

如

何

关

注

上讲思考题答案