构造正三角形解题的两种情况

解平面几何题，构造正三角形的机会比较多。其中特别不能放过的是如下两种情况．

1.如果问题涉及到30°的角，构造正三角形可能会给解题带来方便．

例1  在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=30°，P为△ABC内一点，∠PBC=30°，∠PCB=10°，求∠PAB的度数．

解  如图1，以BC为一边作正△DBC，连DA，DP．

由∠ACB=30，可知AC在BD的中垂线上，有∠ADB=∠ABD=20°．

由∠PBC=30°，可知PB在DC的中垂线上。有∠PDB=∠PCB=10°．

于是∠PDA=l0°=∠PBA．

显然，A，P，B，D四点共圆，可知∠PAB=∠PDB．

∴∠PAB=10°．

这里，题目给出两个30°的角，这两个角有公用的一边BC．由于它们在线段BC的同侧，我们以BC为一边作正△DBC，就同时构造了两条中垂线，之后有A，P，B，D四点共圆，使解法很简捷．

例2  在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=30°，P为△ABC内一点，∠PBC=20°，∠PAB=40°，求∠PCB的度数．

解  如图2，以AB为一边，在C点同侧作正△DAB，连DC，DP．

由∠ACB=30°，可知D为△ABC的外心，有∠DCB=∠DBC=10°，进而∠ACD=40°．

由∠PBA=30°，可知PB在AD的中垂线上，有∠PDB=∠PAB=40°．

易知∠APD=140°，因此∠APD+∠ACD=180．故有A，P，D，C四点共圆，所以∠PCD=∠PAD=20°．

∴∠PCB=10°．

这里，题目同样给出了两个30°的角，这两个角没有公用的一边，我们以∠ACB的对边AB为一边。在C点同侧作正△DAB，就有D为△ABC的外心，且有PB为AD的中垂线，刚好A，P，D，C四点共圆，使解法很漂亮，

例3  在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为△ABC内一点，∠PBC=20°，∠PCB=10°，求∠PAB的度数．

解  如图3，以BP为一边，作正△DBP，连DC，DA．

由∠PBC+∠PCB=30°。可知PC在BD的中垂线上，故有∠DCB=20°．

易知∠BDC=80°=∠BAC，故有C，B，D，A四点共圆．

由∠ACB=40°，可知∠DCA=20°=∠DCB，有DA=DB=DP，即D为△ABP的外心．

∴∠PAB=∠PDB/2=30°．

这里，看上去题目并没有给出30°的角，我们发现了隐含着的条件：“∠PBC+∠PCB=30°”，就能想到“以BP为一边，在△PBC外作正△DBP”；就能想到PC为BD的中垂线．特别难得的是，满足条件的点D居然为△ABP的外心，使解法显得很精彩．

2.如果问题涉及到等腰三角形，构造正三角形求解也许会成为可能．

例4  在△ABC中，∠ABC=∠ACB=40°，P为△ABC内一点，∠PBC=10°，∠PAC=20°，求∠PCB的度数．

解法1  如图4，以AB为一边，在C点同侧作正△DAB，连DC，DP．

由∠ABC=∠ACB=40°，可知AC=AB=AD，∠DAC=40°，于是∠ACD=70°．

由∠PBA=30°，可知PB为AD的中垂线，有PD=PA，∠PDA=∠PAD=20，进而∠DPA=140°=2∠ACD．

显然，P为△ADC的外心，有∠PCA=∠PAC=20°．

∴∠PCB=20°．

这里，以等腰三角形的一腰为一边作正三角形，就同时构造了另一个等腰三角形．由于“PB为AD的中垂线”及“P为△ADC的外心”的配合，使求解特别顺畅．类似地，以AC为一边作正三角形是否可行呢？

解法2  如图5，以AC为一边，在B点同侧作正△DCA．连DB，DP．

由∠ABC=∠ACB=40°，可知AB=AC=AD，∠DAB=40°，于足∠ADB=70°．

在△ABP中，易知∠APB=70°=∠ADB，可知A，B，D，P四点共圆，有∠PDA=∠PBA=30°，于是DP为AC的中垂线，得∠PCA=∠PAC=20°．

∴∠PCB=20°．

解法3  如图6，以AC为一边，在B点异侧作正△DCA，连DP．

由∠ABC=∠ACB=40°，可知AB=AC=AD，∠DAP=80°=∠BAP．于是D与B关于AP对称，有∠PDA=∠PBA=30°．

显然，DP为AC的中垂线，有∠PCA=∠PAC=20°．

∴∠PCB=20°．

这里，以AC为一边作正三角形，不论在AC的哪一侧，都有理想的图形出现，因而求解也都很轻松．可见等腰三角形的给出，确实是我们构造正三角形解题的难得的好机会．

解法4  如图7，以AP为一边，在△ABP内作正△DPA，连BD．

由∠PBA=30°，可知D为△PBA的外心。有∠DBA=∠DAB=20°．

显然，△PAC≌△DAB，可知∠PCA=∠DBA=20°．

∴∠PCB=20°．

这里，由题目给出∠PBA=30°，想到作正△DPA，得到D为△PBA的外心，更有△PAC≌△DAB，使问题迎刃而解．这其中“给出30的角”与“给出等腰三角形”的条件都是构造正三角形解题的机会．我们能抓住这些机会，就能够开发出不落俗套的新颖的解法．