高考数学：立体几何——求几何体体积与表面积命题分析和解题模板

立体几何是高考考查的重要内容,在高考中一般是两道小题,一道大题.小题常以三视图和常见的空间几何体(尤其是球)为载体,求解几何体的表面积和体积,考查考生的直观想象能力与数学运算能力。

用公式法求解规则的简单几何体的体积与表面积的解题模板：

利用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式，求解空间几何体的表面积、体积等，破解此类题的关键点如下．

①定类别。根据几何体的定义及其结构特征确定该几何体是柱体、锥体还是球体，或者是简单组合体等．

⑦用公式或定理，利用正弦定理、余弦定理或勾股定理，求相应的几何度量(如棱长、高等)。利用三角形或梯形的面积公式等求面积，并代入相应的柱体、锥体、球体的表面积或体积公式，从而求得几何体的表面积或体积．

例1：[2018全国卷Ⅱ,16,5分]已知圆锥的顶点为，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为，则该圆锥的体积为__________．

思路分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线SA，高SO，底面圆半径AO的长，代入公式计算即可.

答案：8π

总结：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.

例2：[2017全国卷Ⅱ，4，5分][理]

如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为

A.90π B.63πC.42π D.36π

思路分析：由题意先确定几何体的形状,再根据三视图确定其几何度量即可.可以用分割法,也可以用补形法求该几何体的体积.

解析：由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得到的几何体，在该几何体上方再补一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为3，高为10+4=14，该圆柱的体积为126π。则所求的几何体的体积为其一半，故为63π。

总结：用割补法求几何体的体积的关键是能根据几何体的结构特征合理选择截面进行切割或者补形，从而将不规则的几何体转化为规则的几何体．在分割图形时，定要注意检查：分割后的图形“合成”后应当与原图形相符.