冲刺19年高考数学, 典型例题分析193：导数相关的综合题

典型例题分析1：

已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）﹣f'（x）＜2，f（0）=2018，则不等式f（x）＞2017e^2x 1（其中e为自然对数的底数）的解集为．

解：设g（x）=e^﹣2xf（x）﹣e^﹣2x，

则g′（x）=﹣2e^﹣2xf（x） e^﹣2xf′（x） 2e^﹣2x

=﹣e^﹣2x[2f（x）﹣f′（x）﹣2]，

∵2f（x）﹣f'（x）＜2，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在R上单调递增．

∵f（x）＞2017e^2x 1，

∴e^﹣2xf（x）＞2017 e^﹣2x，即g（x）＞2017，

∵g（0）=f（0）﹣1=2017，

∴x＞2017．

故答案为．

考点分析：

函数的单调性与导数的关系．

题干分析：

构造函数g（x）=e^﹣2xf（x）﹣e^﹣2x，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，不等式f（x）＞2017e^2x 1两边同乘e^﹣2x得出g（x）＞2017，从而得出x的范围．

​典型例题分析2：

已知函数f₀（x）=（cx d）/（ax b）（a≠0，ac﹣bd≠0），设f_n（x）为f_n﹣1（x）的导数，n∈N^*．

（1）求f₁（x），f₂（x）

（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

考点分析：

数学归纳法；导数的运算．

题干分析：

（1）利用条件，分别代入直接求解；

（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N^*）时，猜想成立，证明n=K 1时，猜想也成立．从而得证．