初中数学 专注初中数学解析 目录:
探讨了圆内部的弦与弦之间的数量和位置关系,再来探讨圆外的切线和圆内的弦、圆外的切线与切线之间的关系。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 简单地说,就是:有切点,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证半径。 2道书本习题: 例1如下图1,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,求证:AC是⊙O的切线。 分析:根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O向AC所做的垂线段OJ是⊙O的半径就可以了,而OD是⊙O的半径,因此需要证明OE=OD。 证明:如上图2,过O点作OE⊥AC,垂足为E,连接OD、OA, ∵ ⊙O与AB相切于D, ∴ OD⊥AB, 又 △ABC是等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴ AO是∠BAC的角平分线, ∴ OE=OD,即OE是⊙O的半径 , 这样,AC经过⊙O的半径OE的外端E,并且垂直于半径OE, 所以AC与⊙O相切。 【温馨提示】这是从书本上抄录过来的,建议同学回归课本,注意对基础定理的准确理解以及准确应用。 例2:如下图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线。 【解析】题目明确说明了C是直线AB与圆的交点,连接OC则可知OC是半径,只需证明OC⊥AB即可, ∵OA=OB,C为AB中点, ∴OC⊥AB,且OC=半径, 则直线AB是⊙O的切线。 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径 书本上特意强调用反证法来证明。 反证法其实对学生的要求比较高,一定要通过书本的基本定理去找矛盾点。 已知:直线l与圆O相切于A, 求证:OA⊥l 证明(反证法):假设OA与l不垂直,作OB⊥l于B,则:OB<OA(直角三角形中,直角边小于斜边)∴点D在圆O内部,则直线AB与圆O相交.这与已知条件'直线AB与圆O相切相矛盾!故假设不成立.所以,OC⊥AB. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 写成条件和结论的形式便是: 如图所示,已知PA、PB为⊙O的切线,则①PA=PB;②∠1=∠2; 书本上没说:PO垂直平分AB,因此这个不能直接使用。 弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 已知:PB是⊙O的切线,BC为弦,连接PC与圆交于点A。 求证:∠1=∠2 如上右图所示,利用同弧所对的圆周角相等,构造过斜边为直径的RT三角形。 延长BO交⊙O于点A',连接A'C, 则∠2=∠A'。 在RT△BCA'中,∠A'+∠3=90°; OB⊥AB,得∠1+∠3=90°; 则∠1=∠A'=∠2. 同样的,如果知道∠1=∠2,也可证明PB是⊙O的切线。 弦切角模型: 如图所示,PB是⊙O的切线,切点是B,PA是割线,求证:∠1=∠2; 如图所示,连接BO并延长交圆于点A’,根据同弧所对的圆周角相等,得∠2=∠A; 由PB是圆的切线可得OB⊥PB,则∠1+∠CBA’=90°; 由直径所对的圆周角90°得∠A’+∠CBA’=90°; 则∠1=∠A’=∠2; 【弦切角的举一反三】: 如图所示,P是圆外一点,B是圆上一点,BC是圆内的弦,连接并延长PC与圆交于另一点A,若∠1=∠2,求证:PB是圆的切线。 【涛哥解析】如下图所示,连接BO并延长交圆于点A’, 根据同弧所对的圆周角相等,得∠2=∠A’; 由直径所对的圆周角90°得∠A’+∠CBA’=90°; 则∠1=∠A’=∠2;∠1+∠CBA’=90°, 则PB是圆的切线。 【示例1】如图,△ABC中,AB=AC,线段AC的垂直平分线l交BC于D点,过A、B、D三点的⊙O交直线l于E点,求证:AC是⊙O的切线。 【涛哥解析】如图所示,只需从条件中导出∠1=∠3即可。 由对称可得:∠1=∠2,由AB=AC可得:∠2=∠3, 由同弧AD所对的圆周角相等可得:∠3=∠4, 则∠1=∠2=∠3=∠4(只需∠1=∠3既可以), 后面的按照弦切角的反证去写就可以了。 【示例2】如图,直线CD⊥弦AB,∠1=∠2,求证:PA为⊙O的切线。 【涛哥解析】利用弦切角的知识证明切线,只需要证明∠1=∠3即可。 OE⊥AB可得:弧AC=弧BC,则∠2=∠3,又∠1=∠2,则∠2=∠3. 作者寄语:免费给孩子增强5--10倍的学习效力,比上10个补习班都强,信不信试一下就知道了,可以在留言区交流,会有人回复 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》