新年新目标，送你一套解题攻略，如何利用二次函数性质解决实际问

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今天是2019年的第一天，感恩一路上有你们相伴，恭祝每位朋友新年快乐！平安幸福！我们都是奔跑者，我们都是追梦人，新的一年，初心不改，砥砺前行。

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

真题求解

例1:已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过38件，设这种产品每件降价x元(x为整数)，每星期的销售利润为w元。

⑴ 求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

⑵ 该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元?

⑶ 该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果。

解题思路提示

⑴ 根据利润=(售价-进价)x销售件数即可求得W与x之间的函数关系式；

⑵ 利用配方法求得函数的最大值，从而可求得答案；

⑶ 根据每星期的销售利润不低于6000元列不等式求解即可。

解题步骤

解:⑴根据题意得:

w=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000，

∵300+20x≤380，

∴x≤4，且x为整数。

⑵ w=-20x2+100x+6000=-20(ⅹ-5/2)2+6125

∵-20(ⅹ-5/2)2≤0，且X≤4的整数，

∴当x=2或3时有最大利润6120元。

⑶ 根据题意得:

-20(ⅹ-5/2)2+6125≥6000，

解得:0≤x≤5.

答:售价不低于55元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元。

在解答二次函数综合题时，我们还会碰到许多实际生活中的情况，需要利用二次函数解决，如几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。

例2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm。

⑴ 若花园的面积为192m2，求x的值；

⑵ 若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值。

解题思路提示

本题主要考查二次函数的应用及二次函数最值的求法。本题是关于图形面积的题目，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后运用二次函数的性质确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

⑴ 分析题意，由AB=xm，得BC=(28-x)m，根据长x宽=192，列出方程求解即可得到x的值；

⑵ 根据题意可得:S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196，你有思路了吗?

⑶ 接下来利用二次函数求最值的方法即可得到本题答案，试试吧！

解题步骤

解:⑴∵AB=ⅹm，则BC=(28-ⅹ)m，

∴ⅹ(28-ⅹ)=192

解得x1=12，ⅹ2=16。

所以ⅹ的值为12m或16m。

⑵由题意可得:

S=x(28-x)=-ⅹ2+28=(x-14)2+196

∵P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m或6m。

∴6≤x≤28，15≤28-ⅹ＜28

∴6≤x≤13

∴x=13时，S取到最大值为:195.

故花园面积S的最大值为195平方米。