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微积分是很多人最熟悉的一块数学内容之一，它作为高等数学的重要组成部分，不仅影响着数学的发展，更影响着其他学科领域的发展，因此，如何学好微积分是很多人非常关心的话题。 如果一个人要想学好微积分，那么他/她必须首先要学好导数。导数是微积分中微分学的主要构成，更是微积分的核心内容。 导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数，我们可以求出在实际生活中的一些最值（最大值和最小值）问题，如利润最大、生产效率最高、用料最少、耗油量最少等等问题，我们把这些解决最值问题一般称为最佳方案或最佳策略，俗称最优化问题。 运用导数相关知识内容去解决实际生活中的最优问题，让我们的生活达到最佳状态，就是真正去解决我们实际生活当中的问题。 导数的概念导数是微积分中重要的基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限就是导数。 利用导数解决生活中的优化问题，一般可以分为以下三个步骤： 1、分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y＝f(x)； 2、求出函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； 3、比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值。 典型例题分析1： 某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，顶点B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米． (1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x的取值范围； (2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长方体建筑，问AB的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计) 解：（1）依题意得△NDC与△NAM相似， 所以DC/AM＝ND/NA， 即x/30＝（20-AD）/20， 故AD＝20－2/3x， 矩形ABCD的面积为20x－2/3x2(0<><> 要使仓库的占地面积不少于144平方米， 则20x－2/3x2≥144， 化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18. (1)由(1)知仓库的体积V＝20x2－2/3x3(0<><> 令V′＝40x－2x2＝0， 得x＝0或x＝20. 当0<><20时，v′>0， 当20<><><> 所以当x＝20时V取最大值，且最大值为8000/3， 即AB的长度为20米时仓库的库存容量最大． 运用导数相关知识内容来解决实际生活问题，难点就在于如何把实际问题中所涉及到的变量转化成函数关系式。这种“转化能力”需要大家在掌握好导数相关知识内容前提下，多加进行针对性训练，在解题训练过程汇总，提高导数解题技巧与方法。如学会根据题目条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化,构造相应的函数关系。 在高中数学范围内，我们说运用导数去解决实际问题，一般是求解最优化问题。高考作为一种选拔人才的考试，单单从知识层面上来说就不会太过于狭窄，高考导数优化类问题会结合社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中的热点问题。 同时社会经济发展，企业为了追求最大利益化，加上全社会环保意识不断增强。因此，如何使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，又不破坏自然社会环境等等，寻求相应的最佳方案或最佳策略，就成了社会发展的大事情。 导数因其知识“特殊性”，就成了解决最优问题的基本方法之一。 典型例题分析2： 某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<><11)，年销售为u万件，若已知585> (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 解：(1)设585/8－u与（x-21/4）²， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴585/8－28=k（x-21/4）²， 解得k＝2. ∴u＝－2（x-21/4）²＋585/8 ＝－2x2＋21x＋18. ∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6) ＝－2x3＋33x2－108x－108(6<><> (2)y′＝－6x2＋66x－108 ＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9)． 令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9， 显然，当x∈(6,9)时，y′>0； 当x∈(9,11)时，y′<> ∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135， ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 任何一个企业或经济单位，都需要解决最优化问题，只有解决最优化问题，企业才能实现长远发展。如导数已经在医药、天文、经济、工业、物理、工程以及日常生活等多个领域中有广泛应用。 在实际生活生产中碰到很多优化问题,我们都可以转化归结为求函数的最大值或最小值的问题。我们在利用导数相关知识内容解决优化问题时候，可以从以下四个方面去思考: 1、设出恰当的未知量,并确定未知量的取值范围(即函数的定义域); 2、依题意将所求最值的量表示为未知量的函数即构造函数; 3、求出函数的导数,令导数为0,得到导数为0的点; 4、通过单调性确定出函数的最值点及最值,并解决实际问题.这类问题的处理常见的有以下两类。 典型例题分析3： 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出： 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t<> y′＝－3/8t2－3/2t＋36 ＝－3/8(t＋12)(t－8)． 令y′＝0， 得t＝－12(舍去)或t＝8. 当6≤t<8时，y′>0， 当8<><><> 故t＝8时，y有最大值，ymax＝18.75. ②当9≤t≤10时，y＝1/8t＋59/4是增函数， 故t＝10时，ymax＝16. ③当10<> 故t＝11时，ymax＝18. 综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点． 如果我们想要在高考中拿到导数相关的分数，那么首先就要好好掌握导数的相关基础概念，这样你才能运用这些知识去解决实际生活中的最优化问题。 如要掌握好导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）； 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 理解导函数的概念； 熟记基本导数公式； 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则； 了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数； 理解可导函数的单调性与其导数的关系； 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）； 会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值等等。 最后大家要记住，我们利用导数去解决实际问题中的优化问题，一定要认真记住这么几点： 1、在解决实际问题的最值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应该舍去。 2、在实际生活问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大值（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。 3、在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系是用函数关系式表示，还应该确定出函数关系式中自变量的定义区间。 |
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