平行线的判定——相交线与平行线计算题！学霸成长之路！

【例题】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠E，

∴∠2=∠E，

∴AD∥BC．

【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用．

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【拓展1】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠CEF．求证：AD∥BC．

【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠2=∠CEF，

∴AD∥BC．

【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.

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【拓展2】已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，∠1=∠2．求证：DE∥BC．

【分析】根据垂直推出EF∥BD，推出∠1=∠EDB=∠2，再根据平行线判定即可．

证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴∠AFE=∠ADB=90°，

∴EF∥BD，

∴∠1=∠EDB，

∵∠1=∠2，

∴∠EDB=∠2，

∴DE∥BC．

【例题】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF=∠F．∠GAF+∠AGF+∠F＝180°．求证：EF∥AD．

（人教版中的三角形内角和定理未学）

【分析】由“AD是△ABC的角平分线”，根据角平分线的定义，可得∠BAD=∠CAD，再由∠GAF+∠AGF+∠F＝180°和∠CAB+GAF＝180°（邻补角的定义），可得∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，且∠AGF=∠F，即可得到∠CAD=∠F，所以EF∥AD．

【证明】∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠CAB+GAF＝180°（邻补角的定义），

∠GAF+∠AGF+∠F＝180°（已知）

∴∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，

又∵∠AGF=∠F，

∴∠CAD=∠F，

∴EF∥AD．

【拓展1】如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作AB⊥ON交ON于点B，过C作CD⊥OM交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．且∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．判断AE与CF是否平行，并说明理由．

【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定直接求解．

【解】AE∥CF，理由如下：

∵AB⊥ON，CD⊥OM，

∴∠ABE=∠CDF=90°，

∵∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线，

∴∠BAE＝0.5∠BAD，∠FCE＝0.5∠DCB．

∴∠BAE+∠FCE=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠AEB=∠FCE，

∴AE∥CF．

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【拓展2】如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD？

【分析】根据折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要使AB′∥BD，则需有∠B′AD=∠ADB=20°，得∠B′AB=20°+90°=110°，进一步即可求出∠BAF．

【解】∠BAF应为55度．理由如下：

∵∠ADB=20°，

∴要使AB′∥BD，需使∠B′AD=∠ADB=20°，

又∵∠BAD＝90°，

∴∠BAB′=∠B′AD +∠BAD ＝110°，

又由折叠可知∠BAF=∠B′AF，

∴∠BAF＝0.5∠BA B′= 55°．

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