「初中数学」与反比例函数有关的面积专题

【知识储备】

1.双曲线y=K/x上有一点P，S△POA=1/2|K|，S矩形PAOB=|K|(PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B).

2.xy=K，设P点坐标为(x，y).通常以此设双曲线上点的坐标.

3.同高，三角形面积的比等于底之比;同底，三角形面积的比等于高之比;同(等)底等(同)高三角形面积相等.

【题目呈现】

1.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y=4/x(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=4/x(x>0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积为多少？

【分析】代数法，设坐标，列方程.如图:

AB交CD于点E，设A(x，y)，∵CD垂直平分AB，∴AE=BE，∴D点的纵坐标为y/2，则其横坐标为2x(由xy=xDy/2)，[反比例函数图象上两点的横纵坐标的积相等]，这一点为表示点的坐标提供了依据，要熟练应用.这样，E点也是CD的中点，∴S四边形ACBD=1/2×CD×AB=2xy/2=xy=4.

几何法，∵CD垂直平分AB，∴S△ACD=S△BCD=1/2|K|=1/2×4=2，∴S四边形ACBD=4.

2.如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y=K/x的图象上，若将菱形向下平移2个单位长度，点A恰好落在函数图象上，求反比例函数的解析式.

【分析】条件:有菱形，则AC=OC，∠A=60°，则∠COB=60°，这是一个很好的特殊角，为C，A两点间坐标转换提供了依据，这是解题的关键，过点C作CN⊥x轴于N，若设ON=x，则CN=√3x，OC=2x，∴点C坐标为(一x，√3x)，则A点坐标为(一3x，√3x)，那么点A向下平移两个单位后的坐标为(一3x，√3x一2)，∵A，C两点在双曲线上，则K相等，得(一x)√3x=(一3x)(√3x一2)，解得x1=√3，x2=0(舍去):C点坐标为(一√3，3)，K=一3√3，∴反比例函数解析式为y=一3√3/x.这里设出一个点的坐标，表示出另一个点的坐标是关键.

3.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=k/x(x<0)的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，求K的值.

【分析】题中只给出矩形，和S△BCE=6，我们想到用面积进行转换，连接AO，DO，如图:

则S△ABE=S△ABO(同底等高)，则S△ACO=S△BCE=6，而S△ACO=S△DCO(同底等高，∴S△DCO=6=1/2|k|，∴|K|=12，又双曲线在第二象限，∴K=一12.

4.如图，双曲线y=K/x(x>0，K≠0)经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，求K的值.

【分析】由于S△AFO=S△COE，连接OB，如图:S△AOB=S△COB，而S四边形OEBF=2，

∴S△OBF=S△OBE=1，而S△AOF=S△OBF=1=1/2|K|，∴K=2.

5.如图，点E，F在函数y=2/x的图象上，直线EF分别与x轴，y轴交于点A，B，且BE:BF=1:3，求△EOF的面积.

【分析】利用BE:BF=1:3，进行坐标间的转化，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于点N，则BM:BN=1:3=EM=NF，这样斜的比例关系转化为水平正的比例关系，是化斜为直的一种策略，在好多题中都可用到，如图:

设E点坐标为(x，y)，则F点坐标为(3x，y/3)，S△EOF+S△MOF=S梯形EMNF+S△FON，而S△MOF=S△FON，∴S△EOF=S梯形EMNF=1/2(BE+NF)MN=(x+3x)(y一y/3)/2=4/3xy，而xy=2，∴S△EOF=8/3.

6.如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=k/x(x>0)，同时经过点B，点A在点B的左侧，点A的横坐标为√2，∠AOB=∠OBA=45°，求K的值.

【分析】依据'化斜为直'的思想，过点A作MN∥x轴交y轴于点M，过点B作NC∥y轴交MN于点N，交x轴于点C，如图:

易知△AOM≌△BAN，∴BN=AM=√2，AN=OM，设点A的坐标为(√2，y)，则点B的坐标为(√2十y，y一√2)，∵A，B两点在双曲线上，∴√2y=(√2十y)(y一√2)，解得y1=(√2+√10)/2，y2=(√2一√10)/2(舍去)，∴K=√2y=√2(√2+√10)/2=1+√5.

7.如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2√3，D为AC与反比例函数y=K/x的图象的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1:2的两部分，求K的值.

【分析】由于∠ABc=60°，BC=2√3，∴过点C作CM⊥AB于点M，如图:

则BM=√3，CM=3，∴S△ABC=AB×CM/2=4×3/2=6，直线BD把△ABC面积分为两部分，有两种情况，①S△BCD/S△ABD=1:2，此时S△ABD=6×2/3=4=S△AOD=1/2|K|，∵K<0，∴K=一8，②若S△BCD/S△ABD=2:1，此时S△ABD=6×1/3=2=S△AOD=1/2|K|，∵K<0，∴K=一4.

8.如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴的正半轴于点E，双曲线y=K/x(x<0)的图象经过点A，若S△BEC=8，求K的值.

【分析】由于D点Rt△ABC斜边AC的中点，所以连接AE，AO，如图:

则S△CED=S△AED，又S△CBD=S△ABD，∴S△AEB=S△CEB=8，从而S△AEB=S△AOB=1/2|K|=8，又K>0，∴K=16.

【总结】与反比例函数有关的面积问题，大多是结合反比例函数系数K的几何意义，联系相关的三角形或矩形，进行面积的转化，或者通过设出某点的坐标，利用题中的条件，表示出相关的点的坐标，从而依题意列方程求解.

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