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问题探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝k/x交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点． 观察图像可知： ①当x＝﹣3或1时，y1＝y2； ②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞k/x的解集． 有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．  下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化： 当x＝0时，原不等式不成立； 当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞4/x； 当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜4/x； （2）构造函数，画出图象 设y3＝x2+4x﹣1，y4＝4/x，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线y4＝4/x如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3＝x2+4x﹣1；（不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为 ； （4）借助图象，写出解集 结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为 ． 【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象； （3）根据图象即可直接求解； （4）根据已知不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞4/x，；当x＜0时，x2+4x﹣1＜4/x，根据图象即可直接写出答案． 【解答】（2）  ； （3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和﹣4． 则满足y3＝y4的所有x的值为±1和﹣4． 故答案是：±1和﹣4； （4）不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞4/x，此时x的范围是：x＞1； 当x＜0时，x2+4x﹣1＜4/x，则﹣4＜x＜﹣1． 故答案是：x＞1或﹣4＜x＜﹣1． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0即当x＞0时，x2+4x﹣1＞4/x，；当x＜0时，x2+4x﹣1＜4/x，分成两种情况讨论是本题的关键．  【反思】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题． 在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数，则方程的实数解等价于两个函数与的图像的交点的横坐标；而不等式的解集等价于函数的图像在的两函数图像交点下方的点的横坐标的取值范围．利用图像的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题． |
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