精要复习前面我们讲了导数/微分： “导数”是函数的原因，函数是“导数”的结果。 进一步，借助泰勒展开公式加深了对导数“原因”作用的认识。  泰勒展开公式，是对展开点附近的函数，进行的一个“误差可控多项式仿真”。  最后引出了积分： 不定积分，是把函数降维投影，求到了一系列的投影 F(x) +C。 定积分，是“原因”f(x) 经过一段过程（a to b）所造成的结果改变。 有了上面的理解与基础，今天来介绍神奇的——傅里叶展开。 谐波正弦函数与余弦函数，统一称为： 谐波函数。  优美而和谐的波 从图中我们看，两个函数还用得着统一吗？明明就是同一个函数，只不过“相位”不同而已。 从动图中也能感受到，为啥它叫“谐”波，因为这种波太优美了，优美得只能用“和谐”这个词来形容了。 谐波——自然之道第4课咱们说，sin函数是一个硬壳，没办法直接算，这才引入了泰勒展开，让计算成为可能。 这种硬壳函数在数学中非常之少，为啥谐波函数能存活下来还非常之重要呢？  sin函数需要泰勒展开才能计算 因为，谐波是自然界的大道。 首先，世界由波组成，我们熟悉的有水波，声音是振动波，颜色是光波，电磁波，地震波，应力波，引力波，等等。  引力波理论已被证实 而谐波是所有波中，最“和谐”的，它有一个重大的特性： 谐波的导函数还是谐波，谐波的原函数还是谐波！ 比如，sin'(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)，意思是，正弦的导函数还是正弦，只不过导函数要早了pi/2（1/4个周期）。 就好像，谐波函数“把球传给了2秒后的自己”一样！ （所以，谐波函数还是微分方程 y'=-y 的解，后续再详细讲） 谐波——命运启迪谐波如此神奇，它甚至在许多人生哲学中有类比的描述，比如《易经》乾卦的六部分，可以对应在一个谐波周期上：  纯属个人爱好和浅见，卦辞原文如下：
人生命运就像这谐波函数，必然是有起有伏。 人在逆境中为什么能坚持有毅力，就是因为他看到了命运的周期，逆境将要过去，顺境将要来临，这才有动力坚持住。 也是想提醒身处逆境的读者，物极必反，否极泰来，不抛弃不放弃，直到辉煌。
 所有波都可以分解到谐波说了不少个人的感悟，其实想表达世界人生都有“波”的真理，而所谓“波”的本质即是“周期函数”，周期的倒数即为频率，所以世界是由各种频率构成的。那么就有一个朴素的想法—— 任意一种波，是否能分解成不同频率的谐波的叠加呢？ 答案是可以，这就是傅里叶展开。 就是说，任意一种周期函数 f ，都可以这样分解：  其中，a0 就是代表一个基准线常数，而剩余部分都是由谐波函数组成的。 频域上的谐波叠加仿真系统先上个实例： 方波是比较常用的周期函数，就长下面这个样子：  根据傅里叶展开，分解出前4项谐波，并把它们叠加在一起，可以看出： 叠加项越多，越接近原始方波。 其实，这跟泰勒展开是一致的，越到后面的项，起作用就越小。  最右边那一列是什么呢？叫做—— 频谱 把时域的信息，变成频域信息了。图中表示了每一谐波项的频率（横轴）和幅值（纵轴）。 我们日常生活中，接触过类似频谱这样的图么？ 有啊，这不就是——  乐谱不正是频谱么 每个音，无非就是指一个特定的频率啊，相当于一个频率值代替了一个周期性的声波信息。 频谱的发明非常有利于傅里叶分解得到的谐波项的观察，如下面动态过程展示： 傅里叶展开，是通过不同频率谐波叠加的方式，对任意周期函数进行仿真的系统。 应用举例既然可以把波分解，那就有很多用处。 比如一台机器，发生了不好的振动，那就把振动信号傅里叶分解出来，找到出问题的频率，然后再查哪个振动源是这个频率呀，就找到问题所在了。 有限元可以计算零件的各阶模态的频率振型 再比如，一个低频信号，不知道为什么，掺入了一些高频的噪音，那么可以采用傅里叶分解的方法，分解后直接将高频的部分舍去，就OK了，这就叫低通滤波。 |
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