高中数学导数知识点总结及应用

知识点总结

一. 导数概念的引入

1.  导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是

2.  导数的几何意义：

曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是

当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即

3.  导函数：

当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即

。

二. 导数的计算

基本初等函数的导数公式：

导数的运算法则：

   

复合函数求导 ：

y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用

1.  函数的单调性与导数：

  一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内

(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；

(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；

2.  函数的极值与导数：

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 

求函数y=f(x)的极值的方法有：

（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；

（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；

3.  函数的最大(小)值与导数：             

求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：

（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；

（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四.  推理与证明

（1）合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

类比推理的一般步骤：

(1)   找出两类事物的相似性或一致性；

(2)   用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；

(3)   一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；

(4)   一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

（2）演绎推理（俗称三段论）

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。

（3）数学归纳法

1.   它是一个递推的数学论证方法。

2.   步骤：

A. 命题在 n=1（或）时成立，这是递推的基础；

B.假设在 n=k 时命题成立； 

C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥，且n∈N）结论都成立。

证明方法：1、 反证法；2、分析法；3、综合法；

解题技巧

热点考向一  导数在方程中的应用

[典例1]

已知函数f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的零点；

(2)若方程f(x)＝0的两个实数根都在区间(－1，3)上，求实数a的取值范围．

[方法规律]　

利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法

(1)利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研究根的问题；

(2)利用数形结合研究方程的根；

(3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题；

(4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.

热点考向二  导数在不等式中的应用

[方法规律]　

利用导数解决不等式问题的类型

(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．

(2)比较两个数的大小：一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小．

(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．

▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）

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