12第12章

    第12章     向无限挑战

              没有人能将我们逐出康托尔为我们建造的乐园。

                                        ——希尔伯特

    我一向喜欢数学谜题。1950年代，当我十几岁时，在增努力解决四色地图问题——对任何一个地图，最多只需要四个颜色就可达成分割各国界，但又没有任何颜色与邻国相同的目的。

    这问题虽能够被简单陈述，但当时却尚未解决。我花了很多美好的假日，尝试发现需要五个颜色的地图。我必须多费神一些，因为数学家早已知道任何少于四十个国家的地图，只需四个颜色就够了。在我的努力中，我理解到一个重点，假日我将一张纸卷成一个圆柱体，将两端连起来，做成像一个圆环面的圈饼状，则那个地图至少需要五个颜色才行。我对这个结果非常满意高达。但后来我发现数学家早已证明，一个圆环面上的地图最多需要高达七种颜色（而非四种颜色）。这和拓扑学（topology）有重大关联。

    我从未找到一个平面上至少需要五个颜色的地图，因为这是不可能的。这个结果的证明，在1976年才由数学家哈肯（Wolfgang Haken）及阿佩尔（Kenneth Appel）做出。他们推论出，假日存在一个需五个颜色的地图，则必须有一个“最小”的物色地图。他们指出假如有这样一个最小地图存在，它一定被还原，以至于它不是真正最小的。则唯一逻辑上的可能性，是根本没有这样的五色地图。他们印证证明了四色定理。他们继续用计算机检查这个还原性，最后显示了这个可能性。这中间的过程如此复杂，以至于一个十几岁的小孩是无法证明它的。

    四色地图及其他数学谜题上的努力，使我学得面对逻辑的必要性。假如，我同意按照逻辑规则来玩像四色地图的“数学游戏”，则可以推论出某些事情是不可能的。它们不只在那个时候不可能，在以后也同样不可能，这个不可能只是观念问题或人类心理作祟，还是规则中与生俱来的。

■向人类想象挑战

    这严格的概念似乎像一所监狱。但数学的逻辑规则仍像有规则的学科般，它们开启了广大且复杂的存在领域，足够向人类想象的最深处挑战。

    数学是什么？几乎从人类第一次接触计算开始，人对于数字、点、线、三角等的性质就产生了迷惑，他们开始讨论，并且持续至今。这些讨论虽然加深了我们的了解，但迄今仍未解决。根本的问题还残留着。数学对象（object）以什么方式存在呢？它们完全存在吗？假如它们存在，则数学定理指的是什么呢？我们正在谈的又是什么呢？

    某些现代数学哲学家，不认为数学定理需要任何数学实体对象存在，它们认为定理只是逻辑陈述的一个正式的规定，因此并不需要真有内容。譬如，欧几里得的几何定理可被视为纯逻辑陈述，它们不需要可见的直线及三角形，就能实现那些逻辑陈述。

    哥伦比亚大学的哲学家内格尔做了以下观察来支持这个观念。他认为把逻辑原理（如数学定理）解释成存在的不变本体（例如点、线、几何形状）似乎是一种不必要的装饰。逻辑学家罗素（至少在他的早期生涯是如此）及数学家庞加莱（Jules Henri Poincare）等，不管他们的哲学观念差异如何，他们一致认为数学上的公理只是逻辑上的定义，不需要任何存在的实体就能满足公理。数学上的真理只是逻辑的真理——它们由定义成真。

    从柏拉图到20世纪的逻辑学家哥德尔及其他追随这个传统的人，都认为数学公理超过定义，数学对象超过“特殊的装饰品”，但是公理系统的条理却要诉诸有关实体直线的更深入的直觉，这个实体秩序是超验于形式秩序的秩序。它们觉得数学的真理含义更多。光有形式还不够，内容更是重要。假如不是这样，它们会反驳，人心中如何能产生数学的直觉呢？哲学直觉又从何处来呢？它们主张必须存在超越我们经验的一个存在秩序，使我们的经验易于理解，而我们的直觉也由它而来。但仍有其他派别的数学观念，其中之一是经验论（empiricism），这是18世纪英国思想家休谟（David Hume）主张的哲学。

■心智及文化的产物

    数学与逻辑当然是人类心智及文化下的产物。然而这个产物是普遍而客观的，超越了创造者的特殊心智及文化。逻辑的必要性是我们的思考及世界的构造中所固有的，我们不能逃脱它。甚至于，当数学家及逻辑学家发明外观上与自然世界或逻辑思考方法无关的新数学及逻辑系统时，他们对于系统的要求仍是一致、真实、有趣的，仍然诉诸他们在平常世界中的存在与思考经验。

    有时候，自然世界与数学之间的联系如此密切，以至于数学哲学家（经验主义者）想在自然秩序明显而神秘的条理上，建立数学的一致性。虽然维持这种经验论的数学有困难（毕竟，是经验科学为了它的理论条理而去要求数学逻辑，而非反过来），一些哲学家一致同意卡尔马尔（Laszlo Kalmar）的说法：“为什么我们不承认数学也像其他科学一样，最后必须在实际应用中植基并受测试呢？”数学真理变成必须根据我们在自然秩序中3的经验，这显然和柏拉图及哥德尔的超验观念不同，或与罗素的形式逻辑观念也不同。

    在这一章中，我们将检视各种数学观念间的差异，它们包括了形式逻辑、经验论及其他的观念。有趣的是，本书前几章中很多有关科学的本质及心物问题的主题及对照，在此再次以新的面貌出现，尤其是超验观念及自然论观念的对照；超验观念视心灵为自律的，自然论观念视心灵为自然的部分及服从自然律的。

    正如前几章中我所主张的，当我们思考哲学问题的范畴架构，尤其是数学哲学时，将受到兴起的复杂性科学所影响。事实上，数学本身不仅提供复杂性科学的语言，也服从复杂性科学的逻辑基础。假如未来科学家解开了“认知问题”（即如何用一个正式的、物理上可理解的系统来表达意义及内容），则我相信，我们将发现讨论数学哲学无异于一直在问错误的问题。为了在哲学问题上得到较好的领悟，我要迅速扫描一遍数学的历史，并强调其哲学问题。数学史可以让我们了解目前的争论，并设定我们讨论的基础。

■发现“心灵”的希腊人

    很久以前，古人就注意到自然的规则性，开始以一种不同的抽象方法思考它们。商人为交易货品，设计了数值计算系统及基础算术。虽然，像物体的计数、农场的边界、弹簧振动声音这些规则，或许是经济及自然世界的一部分，但我们将这些规则抽象化。一般化，使它们变成纯思想的领域。例如，我们将三只绵羊加上八只绵羊，可得到十一只绵羊，三只山羊加上八只山羊，可得到十一只山羊。从这个例子，我们不须指出绵羊及山羊，只要有数字的抽象观念，就能认识加的结果，我们发现了数字的抽象观念。

    这是古希腊人第一次抓住一个秩序世界的抽象科学观念，它似乎诉诸一个宇宙的超越实体。它们在数字、几何、逻辑演绎方法的领域中，建立了西方数学一直延续到今天的传统。虽然，希腊人的知识建立在以前巴比伦人和埃及人的知识上，但他们脱离了这些有力的影响，而建立了惊人的成就。一些希腊哲学家，强调数学处在实体的基础上。柏拉图在他的《蒂迈欧篇》（Timaeus）中，描述宇宙是在几何原理基础上组成的，这个洞识已在今天的物理学中完全实现。有趣的是，亚里士多德拒绝这个数学上的重点，坚持我们思考实体的基础是逻辑。数学与逻辑间的辩证也一直持续到今天。虽然有点夸张，但我们可以这样说：希腊人发现了西方的心灵。

    希腊“心灵”的最多成就之一，是把逻辑应用到平面几何的原理上，这包含在欧几里得的十个公理中。公理是基本的命题，它们是数学系统的起点。譬如，欧几里得的一个公理，叙述两点间只能画出一条线。当这个命题似乎很真时，它必须像一个公理，清楚陈述。用这个公理及其他公理，我们能继续定义三角形、四边形等几何物体，更重要的是，我们可以从逻辑上推演出定理，即对似乎不很明显的结果的陈述，如任何平面三角形的内角和是180度。希腊人首先仔细考虑几何物体，然后领悟它们的性质可演绎自一些公理。今天，我们已将它倒转过来，我们视公理，而不是物体为基础，事实上，很多数学家并不关心是否存在满足一组公理的任何物体。

    希腊人有一种有力的空间想象力，能使他们进入几何物体的美丽存在领域中，但同时也限制他们的想象力在可目视的物体上。千年之后，著名的“平行假定”的逻辑独立性被了解后，人们才领悟欧几里得的几何学只是一个特例。就此而言，是空间直觉使他们步入歧途。

    在希腊数学中，我们可以看到一个观念上的“超验的普遍性秩序”就躺在现世之外，这是上帝心中的思想，只要用我们的个人智慧，就有希望领悟。数学上的真理，不仅对你、我为真，对任何能领悟逻辑的心智也都为真。如此，数学的真理是超越世界的——这是一个必要的秩序，它不因世界的特殊性或感官的证据而有影响。同样地，心灵就像自然世界的概念领域，存在自然世界中，而不存于己身之中。这个透视如此有力，以至于到今天还支配了西方的思想。但这是真的吗？一个超验观念的领域，是一种自助式的智慧幻想吗？或许，我们应该问的不只是什么是数学，而是数学在何处。在什么观念下，概念的逻辑空间才会存在呢？一个完全理想的欧几里得三角形存在于何处？我们又回到先前认知科学的讨论上，即心中知识表现的问题。

    中世纪时，教会人士沿着亚里士多德所创立的路，大力推展了逻辑。由柏拉图观点所启发的数学，在亚里士多德的哲学中降低成小角色；亚里士多德哲学，认为逻辑才是主要的关键。有些学者认为文艺复兴时期，因为重视柏拉图主义及强调几何学，才出现了科学革命及以数学（而非纯逻辑）为语言的自然描述。

    一直到哥白尼、开普勒、伽俐略、牛顿等人创造了现代物理及天文基础后，伟大的数学发展才开始。17世纪，笛卡尔及维埃特（Francois Viete）的解析著作，将代数首次应用在几何上，因此，对代数量的符号化处理（这是阿拉伯人发明的技术），取代了希腊人的演绎论点。经由笛卡尔引进坐标系统（即空间的参考架构），几何对象现在已能用代数来研究了。这是一种伟大的简化，经由这样的分析工具，可以检视高层空间物体。现在都数学已能处理超过三维空间的几何了。

    哲学17世纪的分析发展，也鼓吹了函数的数学观念，一个变量Y，能作为另一个变量X的函数，写成Ｙ＝ ｆ（Ｘ）。函数ｆ在变量Ｘ、Ｙ之间，规定了一个明确的决定性关系，这是一个逻辑上的因果关系，它能变成所有物理定律的基本形式。如此，自然现象能表现在数学方程式的语言中，而不需用文字来表示。在理解及定量上，这是一个重大发展。

■数学是大自然的语言

　　17世纪的另一个重要数学发明，是牛顿及莱布尼兹（G. W. von Leibnitz）所创造的微积分，这是牛顿建造古典力学的工具。讨论无限小及处理无限过程，一向是希腊人的障碍，现在有了微积分及现代代数，哲学障碍已移走了。用数学描述自然的道路从此厘清。

    古典物理的语言是微分方程式，它是微积分的自然产物。人类的表达方法有两种形式——语言及数学，其中数学现在已被人用来描述自然。当合适并有用的数学工具出现时，希腊人及中世纪哲学家老旧的、语言式的描述自然方式，显得不适用且累赘。一旦数学成为物理及天文学上适当的语言，一个有关自然科学与数学间符号关系的问题便接踵而至——为什么自然能用数学描述呢？康德曾说：“在自然的每一个特殊学说中，有多少数学就有多少科学，如此联结了经验科学及数学。”

    经验科学及数学之间，有如此一个联结是无可置疑的。自然科学常使用先前发展的数学。例如19世纪中，非欧几何学上的发展，与空间曲率上黎曼的成就，在十数年之后，运用在爱因斯坦的广义相对论上。20世纪初期，希尔伯特发展了“无限维向量空间”及算子，成为1920年代后期量子理论上的数学基础。

    虽然，有很多理念由数学向自然科学流出，但它并不是单向的。物理学家在尝试解描述物理过程的方程式时，常发现数学新观念。譬如，牛顿发明了用微积分解决物理问题。此外，新的数学解析方法也常被发现用来解决物理问题。像某些数学运算符的质谱可以是离散（只取特殊值）及连续（取所有值）的，便是由寻找氢原子光谱的数学物理学家所发现。最近计算机的来临不仅解决了问题，且它本身即是一共复杂性的问题，已激发很多数学的新发展。

    原则上，数学发展可以和自然科学完全无关，但实际上却做不到。有很多杰出数学家，不仅视他们学说上的逻辑构造完全与物质世界无关，还炫耀数学的抽象及超越特性。哲学数学家排斥应用数学的概念。法国布尔巴基学派（Bourbaki group）的一位退休成员迪厄多内（Jean Dieudonne），在1977年出版的书中，非常得意地说代数几何学与物理学无关。可是，在此书的1982年版中，哲学话被删掉了，代之而起的是代数几何充分应用到例子的规范场论上。数论（number theory）长久以来是纯数学中的独立领域，现在已在密码理论及计算机科学中拥有卓越地位了。

■数学工具就等在那儿

    为什么数学与自然科学的发展如此密切？这个问题一直困扰着我。一边是纯思想，另一边是经验，为什么这两个领域会有密切的一致性呢？为什么黎曼几何及希尔伯特空间的数学工具，等待着发展自然世界理念的物理学家运用呢？而这些理念又不能为数学家所预期。虽然对这个迷惑，我没有满意的答案，但我有一些看法。

    数学的发展非常广义，数学家努力达成这样的广义性，并在高度特殊的问题中，用逻辑上能显现的所有可能，尝试证明他们的结果。另外，他们对数学有一个共同的雄心，就是尽可能数学化（mathematize）任何可能存在的逻辑构造，直到人类能力的极限。简单来说，数学家创造了很多数学，只要他们发现任何能用数学描述的东西，他们都要尽毕生生命、历史背景及各种可能来源加以研究。因此当我们在从事某项经验科学的新研究时，如果发现所需的数学工具其实就等在那儿时，或许不应觉得那么惊讶吧！

    数学及科学共生的第二个理由，可说和人类想象的极限有关。数学家及科学家生在同一世界与同样的知性文化中。每个世纪有它的风格、它的世界观，而知性生活的导向便受这个风格所影响。社会及文化传统在界定何者为可接受的问题，及何者为看似怪异且较难抓我接受的问题上，也扮演着它们的角色。科学家及数学家常从自然秩序及它所反映的逻辑秩序上获得灵感。文化孕育了我们的想象，却也同时限制了想象，这在知性生活上一直是反复重演的。因此，文艺复兴时期及19、20世纪数学与科学的对应，实在不应令我们感动惊讶。因为自然和它的条理正如康德所强调的，是我们认知能力的产物（如数学），或许它们之间的相互关系根本就是必需的。

    随着19世纪中叶数学的继续发展，一个新的基本问题随之产生。数学家在尝试去解各种无限分数数列的总和时，它们发现处理总和的方法不同，会得到不同对答案。为了解决浙中歧异，遂开始了严密证明方法的发展。精密检视数学运算的性质，不仅相当重要，甚且可说是最关键当然不。经过柯西（A. Cauchy）、狄利克雷（L. Dirichlet）、傅立叶（B. J. Fourier）、高斯（K. F. Gauss）博尔扎诺（B. Bolzano）、魏尔施特拉斯（K. Weierstrass）及其他人的努力，数学解析因此站在更严密的基础上，而表面的不一致也因此被消除。至此数学上的严密观念便被确立了。

■19世纪的数学

    19世纪的数学家大量发扬以前在微积分、微分及代数方程式上的早期发现，开拓了广大的新领域。大天才高斯及柯西发展了新的解析方法，使微积分延伸到新的范围。傅立叶发现了傅立叶级数。新的数，即四元素（quaternion），被哈密顿（William Hamilton）发现并证实。拉普拉斯延续早期的研究，发展出概率理论，成为数学上的一门学科。伽罗瓦（Evariste Galois）创造了群论（group theory），解决了很多与代数方程式有关的古典问题。此外，新的非欧几何渐渐被了解与发现。几何的代数处理方法，由于狄德金（Richard Dedekind）及克罗内克尔（Leopold Kronecker）的努力而不变得更深入。另外从欧洲数学家丰富的想象所流入的其他发展，多的不胜枚举，哲学知识是永久的财富，也是人类共有的遗产，并形成20世纪大多数柯西的主要语言。

    19世纪的数学特征是新数学对象的发现——存在想象领域内的数学实体。相对地，抽象观念是20世纪数学的特征，虽然它早在19世纪就已萌芽，但那时尚未影响整个思潮。抽象的观念有一部分是从逻辑新发展而来，在19世纪仍被视为与数学相当不同的学科。19世纪哲学逻辑的发展，最后在数学哲学中扮演着极重要的角色。

    1847年，德·摩根（Augustus De Morgan）出版了《形式逻辑》（Formal Logic），将亚里士多德的逻辑作成量化形式，并开启了“逻辑关系”上的研究。19世纪中，逻辑上的一个主要发展是布尔（George Boole）的《思想律》（Law of thought），出版于1854年。布尔的动机，在于用一个代数符号系统及公式，取代一般的逻辑语言，他成功加速了抽象的趋势。布尔的成功确实影响了弗雷格（Gottlob Frege）的名著《概念演算》（Begriffsschrift），这是发表于1879年的一本小册子，总共有88页，它可能是逻辑学中最重要的著作。他拿自己和布尔相比，认为：“我的意向，不是以公式来表现抽象逻辑，而是以一种比文字更明确、清楚的记号方法，来表现内容。事实上，我企图创造的不是一个单一的微积分推论，而是莱布尼兹概念中的特殊语言。”

    打从一开始，弗雷格便努力在数列观念上作明确的逻辑分析。为了完成此一志向，他发明了一种公式语言——一种不需任何直觉推理补充的语言。在这本名著的前言中，他指出：“我的第一步，是企图将数列中的秩序概念还原成逻辑的结果，以下我们便一一加以检视，一边在最后达成数字的概念。为了防止渗入任何直观，我必须尽力维持没有破绽的推理链。为达到最严密的要求，我发现一般语言并不恰当，是一个障碍。无论我如何做好心理准备，接受复杂的表达方式，我仍发现当关系变得愈复杂，我便愈来愈难做到我想达到的准确性。这个欠缺使我发展出目前的表达方式。”弗雷格发明了真理命题的计算法，首次将命题分析作成函数及关系。他设计了定量的理论，如此一来命题所衍生的内容，便可完全用清晰的表示形式来实行。

    弗雷格和布尔为逻辑的未来发展设定了主题，这是一种形式的、几乎机械化的处理方法。弗雷格要求我们用明显的符号、明显的公理、规则及明显的证明来思考数学上的推理。因此，一个数学证明被视为一个连续的逻辑陈述，它能被看成数学的目标（这一点远离了希尔伯特的“证明理论”）。

    弗雷格晚年开始对数学哲学产生兴趣。在算术基础上，他评论哲学家胡塞尔的早期研究，认为他犯了“心理主义”（psychologism）的错误，亦即胡塞尔认为：数学知识主要根据人类心理，而非客观、确定的判断。这使得胡塞尔在后来的研究上，采用不同的处理方法。

    弗雷格的成功，建立了19世纪末叶及20世纪初叶现代逻辑的黄金时代。他的成就在于使逻辑理念更明显。然而他也表达了对他的系统中的一个公理的担忧。事实上，这个令人困扰的公理，正如1901年罗素所指出的：“暗藏了不一致性。”抽象化后来的演变，是进一步产生了集合论。

■思考无限

    19世纪的数学家开始接受无限的挑战，他们对处理无限大或无限小作了概念上的斗争。为了要处理这样的量，许多严密的方法因此发展出来。

    经过这个发展，“无限”意指像整数序列1、2、3……这样的一个数列极限。经过19世纪最后三十年中，大天才康托尔（Georg Cantor）的努力，无限的不可思议构造才开始被揭开。

    我们如何能思考无限呢？毕竟，我们的心智，即使是最佳的心智，都是有限的。没有人保暖计算无限。但是，即使是计算系统不超过十的最早人类（对他们而言，只要超过十就认为是“无限”），仍能比较超过十的两组物体，并能决定哪一组较大。他们将两组中的物体相匹配，剩下物体的那一组，就是较大的一组。康托尔以博尔扎诺的早期成就来建造理念，基本上，他以所有整数的集合来做相同的事情。在比较数学对象的不同无限集合之后，他发现某些集合仍有东西“剩下”，可见无限也有“大小”。他是如何获得浙中奇特结论的呢？

    首先，让我们假定一个最小的无限集合——所有整数的集合，这是一个无限集合。我们想象所有奇数的集合少于这个集合，毕竟，所有偶数也占了一半的整数。但这个思考方法只能应用到有限集合，却不能应用到无限集合。在无限集合里的部分可与整体相等。这个理由与下列事实有关：

        １　２　３　４　５　６　……

        │　│  │  │  │  │

        １　３　５　７　９　11  ……

    所有整数的集合能与奇数作一对一的配对，以至于两个集合是可比较的，奇数集合像所有整数集合一样，有相同的无限秩序。同样地，整数的平方１、４、９、16、25……也能与整数成一对一的对应，它们能一个一个数。这样的集合称作“可数的”，对它们，我们能做成一个表，将它们与整数相对应。

    我们或许会以为，这样的一对一对应是因为这些数列之间有“间隙”。我们也能数彼此间密切接近的对象吗？譬如，所有有理数的无限集合是所有分数的集合，像1/4，7/3或126/901。想象这些分数在一条无限长的线上的相应点上，则在那条线的任何有限区段上，会有无限个这样的有理数。它们紧密联结，能计数它们吗？

    康托尔指出，这是可能的。想象所有有理数的无限列阵：

         1/1→2/1  3/1→4/1  5/1→…

            ↙   ↗   ↙   ↗

         1/2  2/2  3/2  4/2  5/2┅

         ↓ ↗   ↙   ↗

         1/3  2/3  3/3  4/3  5/3┅

            ↙   ↗

         1/4  2/4  3/4  4/4  5/4┅

         ↓ ↗

         1/5  2/5  3/5  4/5  5/5┅

         ┇   ┇   ┇   ┇   ┇

    其中，分子1、2、3……表示行，分母1、2、3……表示列。每个有理数在列阵中，很明显至少出现一次，某些像１＝1/1＝2/2＝3/3……的有理数，出现了无数次。理由列阵中箭头所指的顺序，我们能重新数这些有理数，将它们与整数作成一种对应。每一个有理数，有一个整数对应。因此，所有有理数的集合是可数的。

    当康托尔发现这个结果，他大声惊叫：“我看到了，但我不相信！”但有不可数的集合吗？如康托尔所证的，答案为有，这真是不可思议啊！

    考虑0与1之间所有实数的一个集合。这集合包括了像1/4的有理数，及1/π的无理数。假设，我们能将这些数字用小数表达，使1/4＝0.25、1/π＝0.3183……我们不要明显写出数字，让我们以符号来指示这些十进制的数，将第一个十进制数，在表中，表示成0.a1a2a3……第二个数表示成0.b1b2b3……而这些a和b是特定整数。以这种方法进行下，我们可以想象将0与1之间的所有十进制数列表，使它们与整数相对应：

         1←→0.a1a2a3……

         2←→0.b1b2b3……

         3←→0.c1c2c3……

         ┇

    也许有人会以为所有0与1之间的实数都是可数的。但若使用“康托尔的对角线方法”，可以建造出一个不在这个无限表上的数。这个方法，由检视表上第一个数的第一位小数a1，然后选择其他数字x1所组成。这个x1，将成为新数字的第一个小数。接着，到表上第二位数的第二位小数b2，选出另一个数x2，作为新数字的第二位小数。这样检视它所有表上的数，再考虑这个新的数，0.x1x2x3……由于，这个数字至少有一位是与表上的各数字不同，因此这个数不在表上——这是这个数被建造起来的法子。因此，我们最先所认为能列出所有0与1之间实数的假设，必定是错的——所以，由所有实数组成的连续统是不能数的。这是一个不可数集合的例子。像古人不能计算超过十的数一样，我们发现所有可能数的无限 集合，即连续统，并不能匹配所有整数的集合。所有数的无限连续统，“大于”只是整数的无限集合。

    康托尔假设整数集合及0与1间的实数集合之间，没有“大小”正好在中间的集合。很多人尝试证明这个假设，但直到1963年，才由逻辑学家科恩（Paul Cohen）指出，它不能由集合论的熟悉公理来证明，它是另一个独立的公理。或许佐以其他新公理，才可能证明此一假设。

    但康托尔早就知道，集合的大小不会停留在连续实数中——有一种“无限的无限”存在。譬如，平面中所有曲线的集合，不能与线上的点的连续统作成一对一的对应，这个连续统相当于0与1之间所有数的集合，每一条曲线与平面中的一条在线的一共点相交。我们只需要再画一条没有其他的点与它相交的曲线，就看得出来一组曲线的集合，比线上的点的集合——连续统“大”。康托尔指出了永远不停止的无限集合上的阶层组织。

    1883年，康托尔描述了他的研究成果：

        在集合论中我的探讨已到达一个阶段，集合论的延续已必须推广到超越现已限制的实正整数。这个推广的方向，就我所知，尚无人注意到。

        我根据这个数的概念推广到某一阶段，若没有这个概念，我不能自由地在集合论中往前再踏一小步。我希望这个情况，至少能合理化或为我的主张中看似奇怪的理念找到借口。

        事实上，我的目的在于使实整数数列，能扩展至无限。这个推广看来似乎很大胆，但我不仅充满希望，且有坚定的信心，这个推广在不久的将来，将被视为一个相当简单而合适的自然步骤。当然我也知道，采取这样一个程序，会与绝大多数人的观点相违背。

    很多数学家认为康托尔疯了（他曾经精神崩溃，1887年又重新工作，但1918年死在精神病院中），并将他的无限集合看成怪物。他尤其遭受以前的老师克罗内克尔以及庞加莱的攻击。但赞成集合论的人最后胜利了，并显示集合论为所有熟悉提供了一个统一的架构。事实上，今天的观念是熟悉等于集合论（然而，逻辑的领域大于集合论）。1926年，当希尔伯特说：“没有人能将我们逐出康托尔为我们建造的乐园”，已表达了大多数数学家的心声。

    康托尔的某些集合理念看起来太素朴了，因此后来的数学家企图将他的原始理念形式化和公式化。其中尤以策梅洛（Ernst Zermelo）及弗伦克尔（Abraham Fraenkel）的努力最为突出。可是，这个集合论的新统一工具到了19世纪末叶，却引得数学家开始对此一学科上的一些基本架构发生分歧。一个数学基础的新研究领域来临了，它吸引了20世纪最伟大的数学家及逻辑学家。哲学数学家由于对数学推理的基本性质各持不同立场，因而有了明显的分野。我们将检视这些主要学说的其中三种：罗素的逻辑论（logicism）、布劳威尔的直觉论（intuitionism），及希尔伯特的形式论（formalism）。这些学说很多与数学家如何看集合、逻辑角色，以及他们认为什么是实际的数学证明等有很大关系。他们一样严密，只是在原则的深层论点上有所不同。

    检视数学基础的主要原因在于集合论本身非常广泛，并能应用到所有数学上，但假如天真使用它，就会使整个过程充满矛盾。为了说明这点，我想讲一个间断的寓言，这是大多数年轻人反思上帝时，都会体会到的经验。

■反思上帝的少年

    当我在高中时，我对上帝可能是什么充满了好奇。上帝绝对是无所不知、无所不能、慈悲为怀的，但他只帮助那些不能帮助自己的人。那么上帝会自助吗？假如他不自助，则他应该帮助自己。假如他确实自助，则他便不应该帮助自己。

    这种矛盾困扰了我良久。我特曾问过，假如上帝无所不能，他能改变逻辑定律吗？假如他能改变逻辑定律，则他便是人类心智所无法理解、目中无法的存在体。另一方面，假如他不能改变逻辑定律，他就不是无所不能。这些选择令我不满。虽然我知道在这个“十几岁的神学”中有缺点，但它给我的感觉是：如果上帝不服从逻辑定律，则我无法合理思考上帝；或者他服从逻辑定律，这样他又不是一位令人信服的上帝。这些顾虑令一个十几岁的小孩儿几乎茶不思、饭不想。我知道，哥德尔发展了上帝存在的证明（我还没有看到过），他自然知道不少与上帝的逻辑观念有关的逻辑矛盾。

    一个集合，基本上是一些物体的组合，集合的元素可有无限个。假如我们现在看来所有集合的集合。即有样集合，它的元素是企图所有的集合。这么一来，集合论中最根本的矛盾之一便出现了。这叙述看来简单，直到我们问“这个所有集合的集合，它自己是否为集合的一分子”时，问题便出现了。

    假如它本身不是其中一分子，但因为它又是一个集合，所以它不该是所有集合的集合。领域方面，假如它包含自己，是其中的一分子，则它必须是一个总括集合的元素之一，所有就不该是所有集合的集合。假如我们很不仔细，很多自我指涉的矛盾，将出现在逻辑及集合论中，最有名的例子是克里特说谎者悖论（Cretan liar paradox）。当我们考虑一个句子，它的陈述为“我不是真的”时，这吊诡就出现了。因为这样的矛盾，暗示了不一致性——一个简单的陈述同时为真又不为真。一旦在逻辑系统中，出现一个不一致时，我们将可证明任何陈述及其否定必须都是真的。简单来说，就是没有真理存在。

■罗素的逻辑论

    罗素自从发现弗雷格的“困扰公理”（troublesome axiom V）使重要的研究成果不一致后，他专心致力于这些逻辑矛盾上。罗素认为矛盾是由于忽略了不同“型”观念间的区别所产生的。譬如，一个“集合的集合”与一个集合本身是不同“型”的。不同逻辑类型的比较，就像“苹果”与“光明正大”比较，这是不恰当的。“集合的集合”就像一条蛇，尝试由它的尾部开始吞食自己，这是办不到的。但一条大蛇能吞食一条小蛇。经过不同“逻辑类型”的区别，我们能避免矛盾。对逻辑类型有兴趣的人，远多过逻辑学家。人类学家贝特森（Gregory Bateson）便运用这种观念，澄清了人类行为及生物组织。

    罗素认为数学是逻辑的一支，他认为专门春联与实际意义无关的系统思考。虽然这个理念不是源自罗素，因为很多数学家及逻辑学家，包括莱布尼茨、德·摩根、布尔、皮尔斯、施罗德（E. Schroeder）、弗雷格、佩亚诺（G. Peano）等，对它都有贡献，但此一理念是由罗素具体化，并达到最清楚的形式。简言之，罗素认为数学是部分的逻辑。更明确地说，数学与集合论相同，而集合论是逻辑的一部分。

    在逻辑中，我们能叙述各种规则。譬如，假如Ａ、Ｂ、Ｃ是命题（我们不管它们的意思），假如若Ａ则Ｂ，若Ｂ则Ｃ，那么若Ａ则Ｃ，这是一个逻辑规则，与Ａ、Ｂ、Ｃ的意义无关。罗素认为数学，包括几何、数论、解析，都是这样的。这个观念中，三角形及数不会存在，只有它们的逻辑命题会存在；也就是说，在其逻辑定义之外，数学构造是没有意义的。

　　此外，表上逻辑关系的适当寓言，并不是普通的人类寓言，而是符号逻辑。1910年至1913年中，罗素与他的同事怀特海出版了三大册的《数学原理》（Principia Mathematica）。书中解析几何的理论，自然数及实数，都用逻辑定律来描述。当代数学家凯梅尼（John G. Kemeny）对哲学家开了一个玩笑，他批评《数学原理》一书是“一本名著，每位哲学家都讨论它，但没有人读它”。假若你曾像我一样，尝试读它，你就知道为什么了。它充满了抽象的符号，而去除非你读到第二册，否则还不能得到１＋１＝２的证明。

    《数学原理》一书对人如何思考逻辑与数学的关系，有重大的影响，它是一个分水岭，但却不能满足我们。类型理论的引入是为了避免似非而是的矛盾，但在书中却成为天大的累赘，甚至于不同的数（像实数及有理数）竟然属于不同类型。而去，罗素和怀特海也被强迫引入了很多巧妙设计的“人造”公理。数学家威尔（Herman Weyl）对《数学原理》的批评是：“数学的基础不在逻辑，就好像理想国不是建在逻辑上。对许多人而言，数学比逻辑更多。但数学还能要求什么呢？”

■布劳威尔的直觉论

    直觉论者认为数学对象及真理都会存在，但它们仅存在于我们心中及直觉想象中。由荷兰数学家布劳威尔引领的直觉论者，对罗素的逻辑计划提出批评。他们主张数学更多过逻辑，他们认为数学建构于能描述数学实体，并领悟其特性的心灵能力上。对象如果不能如此直觉，就不算是一个真实的存在。布劳威尔的想法来做康德，他认为有些认知是天生的，尤其是数学的认知。像罗素为数学内容所主张的空洞逻辑命题，并没掌握到数学的本质。布劳威尔要求数学有一个清楚、明晰的理念。

    布劳威尔批评“排中律”（law of excluded middle）这个逻辑律的主张。这个主张认为，某个数学对象的一个特性Ｐ，要么是真的，要么它的否定形式是真的。这看起来相当合理，为什么布劳威尔批评它呢？他认为排中律容许了数学家常用的归谬法。归谬法的内容是：只要证明命题Ｐ的二次否定，即非非Ｐ为真，我们就证明了命题Ｐ必须为真。按排中律，命题Ｐ和非非Ｐ在逻辑上相等。数学家常常不需实际构造，只简单指出假如它们不存在，依排中律就会产生矛盾，因此也就证明了该东西的存在。虽然我们知道该实体的存在，但没有直觉到它的细节及构造。对于这点，布劳威尔强烈反对。布劳威尔认为所有证明必须是建构的（construuctive），若不是由我们实际直接证明Ｐ，就是直接指出Ｐ是不合理的。由于不允许使用这种证明方法，布劳威尔取消了数学证明宝库中最有效的工具之一。

　　布劳威尔对数学证明的批评，遭到20世纪主要数学家希尔伯特所领导的形式论者反驳。爱因斯坦显然不认同很多这些数学基础上的争论，称之为希尔伯特与布劳威尔之间的“青蛙与老鼠的战争”（爱因斯坦在广义相对论的数学理论上虽与希尔伯特有优先权之争，但却是和平收场）。

■希尔伯特的形式论

    希尔伯特与康德读出生在德国的柯尼斯堡（Konigsberg）。柯尼斯堡是数学中心，在这里希尔伯特与另两位主要数学家赫维茨（Adolf Hurwitz）及明可夫斯基（Hermann Minkowski，他发现了爱因斯坦的狭义相对论中的四维空间）三人组成了“柯尼斯堡学派”。

    不像其他的数学家，希尔伯特直到二十岁仍未暴露他的天分，但当他天分显现时，却一鸣惊人。希尔伯特对不变理论、代数数论几何都有很大贡献。他的成就在许多方面，都可说是很广泛且源远流长地横跨了所有的研究领域。他尽力在如代数数论等专一数学领域上研究，并做了很大的贡献，然后接下来的时间又突然转到其他领域上。他在数学的领域上可谓贡献良多。

    他很快就在德国数学中心哥廷根（Gottingen）取得领导地位。他常常演讲演讲内容，进而发表了划时代的论文。在建造一个完全抽象的几何科学上，他提出了重大的发现：不需参考实际的几何物体，就能得到实现几何公理的模型。有一次，他与两位同事在柏林车站等火车时，以对这个发现充满兴奋的心情说：“一个人必须经常能用桌子、椅子、啤酒杯的说法代替点、线、面的说法。”换句话说，什么样的物体满足飘香公理不重要。希尔伯特是主导20世纪思想的抽象观念的最伟大导师之一。

    1900年，在巴黎召开了第二次国际数学家会议，希尔伯特在演讲中公布了数学上二十三个未解决的问题，他认为数学的进步，要以解决这些问题的进度来评断。希尔伯特正如古希腊人给我们的很大问题一样，公布了他的问题。他开始了著名的演讲：“我们之中，每一个人都热衷于能揭开隐藏在未来后面的面纱，好让我们能瞥见科学中即将来临的进步，及它在未来发展上的秘密。”20世纪中叶，即1950年左右，大约其中的十二个问题已获解决。许多针对希尔伯特问题的解答相当深入，并开拓了新的数学领域。

    后来，在他发觉主要的创造力衰退之后，他完全致力于数学哲学上，这是他终身一直保有的兴趣。他以公理为基础，视数学为一挂演绎系统。但为了从公理证明定理，必须使用逻辑、基础数论及集合论，又因为集合论及逻辑中有矛盾存在，除非我们很小心，否则很容易陷入困扰中。因此，希尔伯特开始证明数学与演绎系统的一致性，把它当作一个大计划来做。例如，他假定了数论的一致性，而证明了欧几里得几何的一致性。他的理念是拿一个数学领域，像欧几里得的几何，然尝试将它还原成另外更简化的领域，就像数论能保有更坚固的基础一样。最后，在我们将数学一直放在坚固基础上后，就能证明数学在所有领域上的一致性。

    为了达成坚固基础，希尔伯特引进了“有限的立场”，它叙述任何一个包含有限操作的形式系统所允许的命题，只能以有限个符号来表示。譬如，要求用无限个步骤所作出的证明是不被允许的。

■数学预防矛盾及不一致

    因为希尔伯特的计划，在数学中诞生了一门新学科——证明论（proof theory）。在于证明论中，数学证明变成了数学及逻辑探察的目标，衍生了数学中的自省或自我参考。证明论的目的在证明一组公理（一群命题表示成符号逻辑的语言）的一致性。今后，数学将被看成是还原为符号的集合，完全表示了它的逻辑，这称为形式数学系统。在这个观念下，数学的本质完全包容在写出的符号及实在规则中，它们能告诉你中间如何被处理的过程。希尔伯特说：“数学的主题是……符号，它们的构造很明白，并可加以识别。”

    证明论学家的工作，在于证明这样的形式系统的一致性，即证实假如我们按明确规则处理符号，我们绝不能同时证出命题及其否定形式。希尔伯特说：“一致性的问题……就是我们从公理并按规则证明后，最后不可能得到１≠１。”此外，一旦我们确定了一个形式公理系统的一致性，就有信心继续去证明定理；而所谓定理，也就是所有追随公理的真的命题集合。这是形式论的架构。而在某些概念上，它与数学的概念相一致。这种清晰及具目的之数学表现方式，使数学看来似乎永远能预防矛盾及不一致的疾病。所以在强大的形式论路上，似乎没有任何东西能抵挡它。然而，后来在哥德尔的证明下，他指出数学系统中，证明所以定理的形式论计划，乃至于证明它们的一致性，都是一个不可能的梦。

■哥德尔定理

　　哥德尔是维也纳智慧思潮下的出现的大数学家，这股智慧思潮的代表人物尚包括维特根斯坦、克劳斯（Karl Kraus）、克里姆特（Gustav Klimt）、玻尔兹曼、弗洛伊德（Sigmund Freud）以及其他著名的科学家和哲学家。哥德尔的直觉天赋促使他检视了数学的基础。1931年他发表了著名的定理，此定理可应用到像《数学原理》一书的形式逻辑系统与希尔伯特的形式论计划上。哥德尔定理简单陈述了任何含有算术公理的形式逻辑系统，要么不一致（没有人希望是那样），要么在形式系统中，所包含的可表示真命题是不可证明的。这个结果非常醒目，而去在逻辑及数学历史上无先例可循。它意味着某些数学的真理绝不能被证明。在这个概念中，数学是不完备的。哥德尔定理明显陈述了有限的一致性证明无法获得，这倒颇耐人寻味。因此，希尔伯特梦想证明所以数学的一致性，便是不可能的。

    哥德尔在形式逻辑的规范下，证明了他的著名定理。他的严密论证有些费解。但他基本上是要建构一个命题，表明：“我是不可证明的。”假如这个陈述是假的，那么陈述就是可证明的，这便显示系统中有不一致性。另外一个可能是：若陈述为真，则实际上它是不可证明的。这种情形意指数学系统是不完备的，因为系统中有真而不可证明的陈述。因为“真”及可证明是命题的不同性质，因此，避免了陈述本身说“我不是真的”这种矛盾。更重要的是，他指出具一致性系统的陈述，本身即不可证明。

    哥德尔定理如何被应用到实际数学上呢？非常不幸地，他的定理一向不告诉我们，哪些命题是不可证明的。某些人认为在熟悉的形式系统中，哥德尔所臆测的每一个偶数都是两个质数的和（12＝５＋７，或42＝19＋23），这个命题是一个真的但不可证明的陈述（甚至对很大的数，这个命题都已由计算机检测过了）。但这很难讲，或许明天就有人证明它是错的。某些人曾认为由于哥德尔定理，四色地图的问题可逃避证明的过程，但他们错了。虽然我们尚不能决定哪些定理不能被证明，但可以确定的是，这样的定理毕竟是存在的。而数学的形式论观念（认为原则上，我们能找出数学中所有真的定理）便就此画上休止符了。

■成就永垂不朽

    虽然哥德尔定理彻底改变了我们的数学观念，他本人仍觉得数学（和集合论等同）还是在健康状态——以不完备的代价，我们能避免不一致性。他所更深入思考的问题，是逻辑中超越了熟悉集合论的问题，他在生命后期，仍意指持续思索可能的解答。

    哥德尔的余生在美国的普林斯顿高等研究院度过。他和爱因斯坦是好朋友，常常互相拜访，讨论存在的疾病问题，也讨论世俗的政治。爱因斯坦曾向同事透露：“现在的哥德尔真的发疯了，他竟然投票给艾森豪威尔！”

    哥德尔退休离群索居，避免公开露面。当他在1972年6月到洛克菲勒大学接受荣誉学位时，我遇见了他。仪式之后，一位同事问哥德尔，当他坐在慈善家洛克菲勒与杰出物理学家塞茨（Frederick Seitz，该校校长）之间的主位时有何感想。我记得他沉思良久，然后好像突然从梦中醒来般回答：“是啊！我同时也是坐在他们之间的空间中。”我根本无法理解他到底在想什么。

    哥德尔在余生中，继续探求很疾病的问题，他将哲学看成一门实在的科学。他开始被胡塞尔的哲学所吸引，主张有一个第一哲学，可由内省直观而进入超越意识存在的基础。他认为质疑公理的真实与否是有意义的，公理不只是一个形式系统，也显示出一种逻辑存在的特性，这个特性存在于公理之外，并提供公理最终的基础。对对数学对象的认知，他也有一套见解：“虽然数学对象远离意识经验，但我们确实有对集合论的一种物体认知，哲学公理加诸我们身上，让我们直觉到它们是真的东西。我们对这类数学直观认知应有信心，就如其他感官的认知一般自然……”正如我先前所批评的，哥德尔是“认识论的柏拉图主义者”，在他晚年，甚至设计了一个上帝存在的数学证明。1978年，他死于新泽西州的普林斯顿，死因是营养不良（他害怕食物有毒而导致厌食）。他一直是最深入的逻辑思想家，他的成就可谓永垂不朽。

    哥德尔的努力，改变了后来数学家对数学性质的思考方向。即使是在纯思想中，对什么能被证明都有限制存在。在他之后，逻辑学家继续加深它们对形式系统的了解。今天，现代逻辑分割成集合论（最早由康托尔、策梅洛、弗伦克尔所发展）、模型论（公理的模型）、证明论（希尔伯特及哥德尔）、直觉论（布劳威尔及他的学生海廷［Arend Heyting］后者将它复兴成构造论的推理，1930年代消除了排中律）及递归论（recursion theory）——这个理论的缘由，在使算法概念更为明确，它源自哥德尔、图灵、丘奇（Alonzo Church）等天才，更由于计算机的兴起而带动了当代的研究兴趣。

■图灵的创造力

    经由弗雷格、罗素、希尔伯特的成就，数学逻辑根据周全的规则、掌握了符号串的处理已变得相当4清楚。数学证明即是典型的例子。英国数学家图灵，他的研究以具备独特创造力及深奥目的为特征，一心想要将这样的逻辑处理在机器上完成（后来称这种机器为“万用图灵机”）。像我以前解释的，这个机器被视为一个概念机器，而非实际机器。它由一个包含一组符号的磁带所组成，这组符号可按预定程序被涂消或打印。事实上，图灵机很简单，但就如图灵所指的，它拥有“可计算”（computability）的完整概念，这是图灵机概念的基础。图灵机使逻辑机械化，因此将逻辑还原成完全的形式形态。

    图灵将图灵机的概念应用到数理逻辑上。基本问题是在有限的时间中，这个机器到底什么能做，什么不能做。他向初学者显示即使是最复杂的计算机，总是能还原成这样的一台万用机器。假如某些事情能计算，它就能在图灵机上计算。或者是说，图灵机定义了“可计算”的意义。

    图灵继续定义了一种新的数——可计算的数，它能用一个指令有限的程序，在一台万用机器上计算出来。譬如，π＝3.14159……有一个无限的十进制展开，但可写一个很短独特性计算π，所以π是一个可计算的数。又因为π在展开上有无限个小数点，所以π的程序将一直不停工作，然而程序还是有限的。不可计算数便会有这样的有限程序。可计算数与不可计算数的区别，与我稍早叙述的可模拟与不可模拟系统的区别，有很密切的关系。对一个不可模拟系统，不会存在比系统本身更简化的模拟程序。

    哥德尔定理在图灵机上显现了一个新的外貌。外貌能想象到，在某个公理系统中，机器被建立以证明定理。假设它开始证明一个“定理”但机器却不曾停止，外貌如何得知机器会停止呢？这是著名的停止问题。哥德尔指出，在十分丰富的公理系统中，仍存有不可决定的命题。因此外貌知道，机器对这样的命题将不会停止（证明不完）。但我们不能预先确定哪些命题证明过程无法停止，因为停止问题本身就是不可确定的；某些命题的可确定性与否，本身就是不可确定的。

    虽然丘奇并不为机器概念所吸引，但他的研究在逻辑上与图灵相同。他证明了有关命题的逻辑有效性（logical validity）的一个基本定理（现在称为丘奇定理），并将它表示成逻辑公式。一个公式，不管我们为它的符号、函数、常数等作何解释，假如它是真的，则它可说是逻辑上有效的。丘奇定理陈述的观点是：没有一个图灵机能决定人一样个逻辑公式是否为逻辑上有效的。假如我们接受“所有在主机可计算的公式都能在图灵机上计算”（丘奇的主题）的概念，则他的定理暗示，没有任何机器会告诉我们是否有任意一个公式在逻辑上有效，这需要天分猜测及想象才能做得到。

    这个结果似乎强化了哥德尔的著名说法，即有些事情或许心知可为，但头脑不能证明。或者简单来说，我们的心不能还原成一个万用的图灵机，这可说是对丘奇定理的另一种解释。

■数学家的食物——伟大的问题

    逻辑即数学基础中哲学迷人的发展，却被重实用的数学家看成大有问题。逻辑发展及数学基础的研究，是对风行于19世纪末叶的集合论矛盾的一种回应。这个问题现在似乎已解决了。与现代数学的巨大海洋相比，今天的逻辑被看成是一潭死水。20世纪的著名数学家魏尔（Andre Weil）对数学与逻辑间的链接有下面的评语：“假如逻辑是数学家的卫生习惯，那就不是他的食物来源。唯有伟大的问题，才能提供数学家每天的食物。”他又以同样心情说道：“我们学习追踪整个的科学，使它回到一个单一来源，它是由一些记号及规则构成，有一个毫无疑问的根基。不管只靠科学，我们很难避免饥饿，但在不确定或有危险的情形下，我们总能退回这安全窝。数学家由内容，而非形式，来维持其活力。罗素认为数学与逻辑相同，或许原则上这是正确的，但实际上却是缺乏生命力的。要说数学与集合论相同，就像说诗与句子相同一样，这种说法遗漏了内容与意义。”

    虽然本章的重点在数学哲学（因此强调逻辑及数学的基础，而非数学本身，会更为恰当），但我们要有全面的视野。数学哲学是一个沼泽，少数实用数学家担心会陷在里面，它们较喜欢在数学问题上做研究。但实用数学家也有他们自己的哲学观念，而去在这方面有很大的贡献（像希尔伯特）。因此，检视一些数学家的观念是很重要的，即使他们是反哲学的都不例外。

    门外汉很难了解20世纪数学的伟大发展。新的领域创造了，我们的经验丰富了，20世纪的数学重点已产生变化，概略来说，所有的数学都具备了数学对象（如数与几何流形）与它们相互转换的特征。对象与态射（morphism）即是所有数学的主题。20世纪之前，数学家着重在对象本身的性质。

    在19世纪，新的数被发现（像四元素及复数），接下来便被深入研究。另外，新的非欧几何学，也被发现并探究。但20世纪中，数学的主要兴趣在它们的态射而非对象。数学实体之间的抽象关系变成了研究目标，实体只占了次要角色。数学家最后终于了解抽象的力量——在某些方面而言，态射反而定义了实体。譬如，某些形态使实体不变，像一个绕着实体中心转动的圆，由于此不变性，因而被定义为“圆”。这就是实体的转换定义了它们酒精是什么的例子。态射及映射（mapping）的强而有力概念，已大量被开拓了。

    要揭露代数学的整体状况是很困难的。数学史学家范氏（J. Fang）比喻数学的发展就像一座城市的成长。在市中心是旧传统的城市，它有一个保存的地标代表旧数学。而新城市完全围绕它而成长。我们发现，旧城市周围有坚固并可利用的19世纪城市建物，在它周围是水平延伸、快速成长断0世纪郊区，这就是最新的数学领域。郊区很大，以至于完全超越了里面的城市。有些郊区甚至变成了自主的城市，郊区之间发生了沟通的问题，某些郊区很难知道其他区域的存在。本来舒适的数学领域，成长到几乎失控，任何逻辑学家宣称他能为这个世界设定秩序都是荒谬的，要了解所有的进展是不可能的。

■布尔巴基的贡献

    然后，尼古拉斯·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）出现了，他是20世纪伟大的法国数学家。他继承了希尔伯特与庞加莱，以城市设计师的姿态出现，从混沌中制造秩序。他有梦想家的自信，评论并改变了整个现代数学。数学与他站在同一边，不管我们如何看布尔巴基，数学家豪尔莫什（Paul Halmos）认为他的成就，可用“无论如何，20世纪数学少了他就完全改观”来形容。阿尔廷（Emil Artin）给他一个更崇高的评价：“在我们的时代，他创造了一个永垂不朽的成就，这是整个现代数学的表现。它是在各个数学分支间共通键结下完成的，现在，这个架构支持数学的整体构造，在短时间内不易荒废，也很容易吸收新观念。布尔巴基尝试在最大的可通性及抽象中提出每一个观念，因而达成了这个目标。”

    谁是尼古拉斯·布尔巴基，布尔巴基是法国一个数学团体的名字，这个团体明白仅一个人不能做到对整体数学的通贯领悟，因此建立此一组织，并且以尼古拉斯·布尔巴基的笔名写文章（至少开始时是如此）。布尔巴基由一群有共同数学哲学观念（抽象及通则的本质）及共通兴趣的发明者所组成。早在1930年代，多产的尼古拉斯·布尔巴基开始发表令人难以置信的富有高度想象力及深度的数学论文，震惊了数学界。一个新的天才降临了。

    开始时，他的身份不明（除了他的出版者赫尔曼及出版商之外），但现在已知是由包括嘉当（Henri Cartan）、舍瓦利耶（Claude Chevallier）、德尔萨特（Jean Delsarte）、迪厄多内、魏尔等当时法国的顶尖数学家在内的一群发起人所组成。布尔巴基在他的著作《原本》（Elements，依欧几里得的著作命名）是涵盖所有数学的百科全书，到今天这套书仍不断再版。

    最早的成员有些已被取代，不断又有新的成员加入。成为布尔巴基的一员，可说是数学家的荣耀。他们在夏天中，常在法国乡间或巴黎开会，集体研究并计划未来的丛书。这些会期中，显现了伟大的团队精神。嘉当回想那些日子说：“每一位成员为了整体，必须忘记他的专长，被迫重新开始学习每一件事。每一个问题都必须互相讨论，因此最后的结论只能从讨论的结果而来。”

    布尔巴基这个名字有一个很有趣的来源。传说中两个住在希腊克里特岛的兄弟——埃马努埃尔（Emanuel Skordylis）及尼古拉斯（Nicolaus Skordylis），在17世纪土耳其人入侵时奋勇反抗，它们被土耳其人称为“乌尔巴基”（Vourbachi）或“强势领袖”。这个被敌人冠上的绰号就留给了它们的后代，而在希腊，乌尔巴基就念成了布尔巴基。

    一百年之后，埃马努埃尔的一个伟大孙子，担任船员的绍特（Sauter），被拿破仑的哥哥派到埃及，传达拿破仑会回到法国进行武装政变的消息。政变成功后，拿破仑为了感谢他，让他的三个儿子到法国受教育。其中一个儿子后来称为法国官员，而其儿子查理（Charles），是法国军队的一名将军的父亲。查理·布尔巴基将军在普法战争中战败，带领残余部队到瑞士去。在那里，他企图自杀，但失败了。战后，他尝试竞选议员，但也失败了，他在1898年过世，是一位相当失意的人。他的雕像立在第戎市（Dijon）市中心——这里是布尔巴基创始者之一迪厄多内的故乡。

    当尼古拉斯·布尔巴基第一次出现时，嘉当坚称查理有个姐姐嫁给尼古拉斯的一个孙子。他们的后代也叫尼古拉斯，他是1930年代突然冒出头的数学家，在当时他开始写数学论文。其他数学家若认为尼古拉斯根本不存在，便会受到强烈抗议。《数学评论》（Mathematical Reviews）的编辑博阿斯（Boas）就是其中的一位数学家，布尔巴基甚至编造一个谣言，说博阿斯事实上根本不存在，Ｂ、Ｏ、Ａ、Ｓ只是代表杂志社里的一群编辑而已。无论如何，到了第二次世界大战之后，布尔巴基的真正身份才真相大白。

    布尔巴基发展了数学上的一个一致哲学，他的观念远离了罗素的数学（即哲学观念）。布尔巴基直接批评罗素的观念，写道：“要说这个演绎推理是数学的统一原理，可说是毫无意义的老调。这种表面的说法，确定不能评估不同数学理论的明显复杂性，就像我们不能只因物理及生物都同样应用实验方法，就将此两门学科统一成单一科学。利用演绎链的推理方法，只不过是一个转变的机制，可以应用到所有前提之下，因此不能赋予这些主题以特征。”像布尔巴基等实用数学家，绝不会用逻辑形式论让数学变得混淆不清。

    布尔巴基致力于用最抽象的一般性，研究数学的“构造”。布尔巴基的《原本》中，第一部有六册，它们是集合论（将其当作所有数学的基础）、代数、一般拓扑学、实变量函数、拓扑向量空间及积分。布尔巴基的主要方法是抽象化，这是自前所未有的通则化中，发现数学统一原理的过程。在公理中所发现的“构造”，表面上看来形式非常任意，但就如每位数学家所知，内容其实相当受限于数学想象能力。就布尔巴基的观点而言，他们对数学公理的看法与希尔伯特相同，他们认为公理的角色不是为了求严密，而是强制了数学上的组织架构。

    即使布尔巴基的批评者，也认同他们的观念，认为逻辑与数学是不同的。就某方面而言，由弗雷格、罗素。哥德尔所引导的数学整体逻辑、公理及基础，现在看来似乎是绕了一个大圈，或许这是必需的吧。逻辑学家或许会反对这个特征，坚持他们的研究在数学上占有核心的重要地位。数学家怎么能忽略他们如此重要的地位？

■拓展新希望

    在实用层面，数学的直观成分要多于逻辑的成分。一位实用数学家的思想方法与经验科学家类似，这些方法已包含在假设/求证系统中。数学家用他们的直观，猜测数学的构造。他们冒险进入一个数学领域中，找寻简单、统一而非凡的定理，这个结果受重视的程度，以数学家走了多远、领域的困难度，以及所滋生价值的重要性来评价。当一个大问题被解决后，通常要么在未知领域上拓展了新希望，要么关闭了继续探索之路。

    我们从数学探求之路来看，可以看出数学非常类似我们所谓的假设/演绎法，这是想象及严密思想的组合。正如我在自然科学中所坚持的理念，数学理念因为富有创造力，并能在概念环境中持久，因此能生存下来。像所有理念一样，数学理念也参与一个选汰性系统。逻辑学家所处理的数学哲学，只涵盖了现代数学领域的一小部分，而且是相当贫乏的部分。

    我们如何为数学勾勒其特征呢？某些伟大数学家已提供了答案，但却没有一个能令人完全满意。笛卡尔视数学为关于秩序及关系的一种科学，在他之前的希腊人也如此认为。莱布尼茨认为数学探究了所有可能世界的构造（包括我们希望的）。庞加莱及魏尔视数学为无限的科学。最近我们发现了数学的新定义——复杂系统的科学，或符号形式中的实体模型。

    数学（及所有数学定义）最特殊的是没有外在实体。虽然，数学或许源自对感觉世界的反映，但它的最终生命却是在心中，它是对于逻辑秩序所作出的纯粹判断的连锁关系。虽然数学与经验科学有关联，但它本身是自律的，是为自我的需求而创造。数学上的讽刺是：虽然它纯粹是人心的产物，但它有自己的生命，而它的构造似乎超越了人类经验，且与人类经验无关。在经验科学的例子里，我们虽也证实了独立性，但我们可将经验科学归诸自然，它与我们的心无关。数学上却没有这样的托辞。那么，这样独立的数学领域，如何可能呢？

    为了回答这个问题，让我们回想一下数学系统是如何开始的。我们假定了一些公理及定义，像欧几里得公理及定义便是一个例子。公理必须是相互间一致的，简单、明白、通俗，最重要的是能令人产生兴趣。在欧几里得的例子里，整个平面几何的构造都跟随在这组公理之后。数论及算术的公理也有相等的创造性。这些数学公理系统的特征，是内容丰富得令人惊喜。有些公理系统可能很薄弱，它们不会产生有趣味的事物。

    数学似乎是一个复杂性的例子，它有逻辑上的复杂性。从一些基本逻辑命题——公理，我们可得到丰富而含蓄的构造。我相信这是因为从一个简单逻辑系统，可产生数学的复杂性。虽然数学的起点很单纯，只是一组很容易为心所了解的公理，但它的探索过程开拓出有自我生命的一个丰富、复杂的命题领域，在这个领域里，人类的想象力可恣意漫游，却无法为心所彻底了解。数学领域就像一部在简单规则基础上起作用的、不可模拟的自动机。

■一道微光横跨黑暗空间

    以色列数学家拉宾（Michael Rabin）曾这样描述数学领域：“想象一组完全为真的数学命题，像占据了一个广大的空间。这些定理中有一小部分已得到证明，我们可将它想象成一道细微的光线，横过了这个黑暗空间。这个广大空间的其他黑暗部分，布满我们尚未证明的真定理，它们可能永不会被证明。我们不能证明这些真定理的原因在于：证明的过程需要很长的时间，即使最大的超级计算机，花上宇宙生命的长时间，也不能完成计算。由于需要这样大却有限的计算时间，以至于我们永不会知道它们是否为真。其他‘真’定理或许需要无限的计算时间，这些定理在一个特定的公理系统中是不可确定的。光线指示我们的，是‘真’并可证明的定理，它们并不需要很多计算时间，而有天分的数学家能用人类的技巧发现它们。”

    拉宾所要求的数学计算观并不新鲜，在过去几世纪中早就有人强调过了。这个计算观是什么呢？我喜欢用“数学的机械化”来描述它。按照这个观点，你若不能计算数学实体，则谈论数学实体便是无意义的。亦即你必须能在一个机械计算器上找到证明。数学的领域即是可计算的领域。然而，数学是如何在一个要求纯概念的超越领域里，还原成机器化的符号处理呢？让我们检视这是如何做到的，而如果不能做到，也让我们了解为何做不到。

    “数学如何可能”与“语言如何可能”的问题相似，两者同样令人好奇。数学与语言都是人类的心智产物。我认为只有在我们更了解头脑的作用之后，才比较有可能回答人心是如何处理，而且是如此严密地处理数学题目的——想想“无限集”。数学，即使具备所有超越特性，最终仍是物质器官——头脑的结果。我们本来以为数学像一个全面性科学，但也许其实它相当特殊，是我们特殊的头脑构造及特殊进化的结果。我们是否能建造人工心灵，以不同方式看数学，而创造出不同的数学世界？或者，所有受这个宇宙物质定律所限制的人工心灵或自然心灵，基本上只能达到相同的数学及逻辑构造？这些问题的答案我们现在还不知道。更明确来说，目前根本无法想象我们如何能回答这些问题。

    但事实上，我们文这些问题，正表示数学的计算观有价值。我们认为：数学最终是什么，将根据物质构造本身的计算能力来确定。

■计算机成为数学宝库

    计算机对于人如何看待数学有很大的影响。计算机实施离散操作，它们是有限的机器。不是因为计算机特别聪明，而是因为它们的计算能力及速度，数学家才特别喜爱使用。因为计算机基本上是一种沉默的机械设备，但却能确实完成数学家预先安排的工作，因此数学家对它们有十足的信心，也能精确使用它们。

    假如一位数学家，想要检查π以十进制展开的前14亿3000万个小数点中，十个整数是否平均分布，利用计算机是唯一可行的办法（它们的确是平均分布的）。计算机可用来模拟数学方程式，随机过程，并建构复杂的证明。三十年前，我在洛克菲勒大学的同事王浩，使用一个计算机程序证明了很多定理，包括了罗素及怀特海的《数学原理》中所有的基本逻辑定理。这是计算机第一次显示能证明逻辑定理。我很讶异现在的计算机设备，竟占美国国家可行基金会的数学研究预算的百分之八。数十年前，没有人能想象数学家需要“设备”。计算机现在已是数学的部分宝库，它提供了我们推理的图像，其中的机械性使我们精确看到争做进行的事。

    因为大多数计算机是有极限的、数字式的设备，它们相对影响了我们对数学的看法。计算机不能直接处理一条线或曲线上的无数个点。在做数值分析时，一条曲线要被切成分离的各段来使之近似曲线。计算机的数学世界是一个离散系统，而不是一个连续系统。但计算机能以和我们相同的方法来处理一个连续统，方法是经由符号处理所代表的离散逻辑步骤。譬如，当方程式允许有已知函数的解时，计算机程序能被用来实地解微分方程式及积分方程式，而毋须数值解。计算机只是使用预先安排的连续函数的已知性质。原则上计算机似乎能做我们想的任何事情。但实际上，它们的能力仍太落后。至少在可预见的将来，数学的想象能力不会有代用品。

    计算机不能作“直观的”猜测，在整体概念及模式识别上，计算机的表现很差。在这方面，计算机尚无法与人类能力竞争，它们只是根据罢了。或许有一天，真的人工心智能自己探究数学世界。它们或许能参照我们对于前几个整数或三维空间的直觉的方式，发展出对于以百万计的整数或高维空间的“直觉”。这样的人工心智或许能发现我们所重视但却绝不能想象到的新东西。

■最终的物理限制

    不管计算机变得多么有效，或模拟人心多么深入，它们总是服从自然律的加工品。在这种情形下，数学及逻辑推理中最有效的心灵，仍服从宇宙的物质限制。1960年代，IBM实验室的兰道尔（Rolf Landauer），追随冯·诺伊曼的脚步，开始探究计算的最终物理限制。目前这方面的研究仍停留在起步阶段。1982年，麻省理工学院召开计算之物理学会议，会中讨论已知的计算上基础物理的限制（计算上的确有这样的限制）。这是一种奇妙的状况，因为我们对这些物质限制的理解本身，被表示成数学及逻辑推理，而逻辑符号处理必须遵守自然律，而自然律却又用逻辑符号表示。心灵的超越世界与物质的自然世界间的关系，可用蛇吞食自己来比喻。

    我对物质世界与数学观念世界间的相互作用，至少可提供一个例子。可计算的观念是用图灵机来规定的。通常图灵机是想象的机器，不是实际的机器。但实际上，假如我们讨论做逻辑推理的计算机时，就必须考虑实际的图灵机，并且建造这样的图灵机。图灵机按古典物理定律工作——我们可想象一个由齿轮及轴建造的图灵机，利用一条纸带穿过而带动。我们能使机器电子化，但这却不会改变其操作是按古典物理的事实。

    很多年以前，我决定设计一台量子力学的图灵机。我的目的在设计一台非图灵机，这种计算机不能还原成一台简单的图灵机，其原因在于量子力学不能还原成古典力学。物理完成这种机器，我们必须在计算机设计中应用量子力学的基本特性。使用各量子状态间长距离的关联性，就很容易完成它。

    我们想象一个光子（光量子）源，放出成堆自旋相关的光子，每一个光子走向相反的方向，然后，这些光子穿过一些偏振器之后，在两个不同地点被侦测。被侦测的光子的形态，不管它们是否穿过出个偏振器，都能被表现成一个０与１的随机数列（０代表未测到，１代表侦测到）。每一个侦测站得到的两个数列，都是随机数，但它们的相互关系却不是随机数。此外，这个相互关系保暖用古典物理定律得到，因为它本质上属于量子力学。这些随机数数列能被当作每一个侦测站中两个普通图灵机的部分输入，这些机器用这些输入进行某些计算。现在，由两个图灵机组成的整个设备，能被视为单一计算机。因为量子力学的相互作用不能用古典力学评估，因此这个计算机不能还原成一个万用图灵机。

    虽然我有“非图灵机”的观念已多年（其他人也提出类似的机器），但我找不出有哪一个问题是这个新机器能解决的。1985年在美国谢尔特艾兰举行的第二次量子力学大会上，我遇见物理学家费曼。我知道他对计算的基本问题很感兴趣，这个兴趣部分来自与计算机科学家弗雷德金的讨论。我告诉费曼我不能找到一个适合的问题让“量子计算机”来解决，当然这个问题并能在一个标准图灵机上完成。他立刻说：“量子计算机能模拟量子力学的关联性。不会有任何普通计算机可以做到。”当然他是对的，但我仍在寻找的是一个逻辑问题，而非模拟。

■图灵机能模拟人脑吗？

    这个问题的困难，在于图灵机定义了我们所说的“可计算”及“可决定”的意思。标准数学问题是被设计成可计算的。因此，要发现“量子计算机”能做而图灵机上不能做的问题，我们需要改变以往对数学领域的思考。这听起来似乎有点“本末倒置”。无论如何，这个例子说明了数学上的可计算性是根据计算机的，但最终是根据自然的实际物质律。以后可能会有很多不同种类的非图灵计算机，它们将赋予计算及数学理念新的意义。

    图灵机能模拟人闹吗？假如量子力学关系在神经网络中扮演了基础角色（没有证据），则人脑不能被普通的图灵机所模拟。另一方面，假定人脑的基本操作可用古典物理正确描述，那么决定性混沌在头脑作用中也许扮演了某种角色。原则上，图灵机能模拟美国原则在人脑中的运动。但即使我们使用最大的超级计算机（相当于一个图灵机）模拟一毫秒的人脑操作，都需要上千年。那不是一个实际可行的过程。

    某些人以为人脑的智慧行为能以图灵计算机模拟，可是这并不意指它的物理状态可被模拟。事实上，这些人完全不管人脑的构造。他们暗示模拟发生在一个较高的概念及符号层次。无论如何，因为概念及符号在它们的脉络之外并没有明确的定义，所以模拟问题是未被定义清楚的。因此，我们如何能预先安排计算机来做这样一个模拟，也是不怎么清楚的。

    所以，要回答人脑是否能在图灵机上模拟，首先得认清人脑操作在基本上是否属于量子力学。假如不是，则原则上人脑能被模拟，但实际上，这仍是一个完全不可能的工作。

■期待改变文明的答案

    数学从千年前的宗教起源，延伸到今天的抽象及普遍的形式，它的成就令人敬畏。数学是人类文化的力量，毫无疑问它将继续深入未来，并且带给我们更多的惊奇。我们或许只在探究的开端，数学的大陆及世界仍等待被发展。至于何时才是冒险的终点，到现在仍无法看到。

    数学对象存在于“哪里”，“如何”存在，似乎仍是深奥的疑问。数学思考的性质仍是一大秘密，而这些问题的答案尚未被揭露。这个迷惑是知识、存在、思想的物质表现的普遍问题的一部分。

    至少在20世纪，我们对真实的超验秩序（如数学对象）已能通过它的物质表现及实际物理过程来思考。同样地，宇宙的物质秩序除非借由超验概念，否则无法通过理性表达，这些概念很多来自数学及逻辑。超验观点及自然观点是一元实体的两面表现。由于我们思想及语言的范畴，尚不能容纳此一元实体的整个表现，因此它仍是无法捉摸的。只有经由经验上范畴构造的改变（这是借由经验科学的发现所造成的改变），以及对心理更深入的了解，才能达成整体观念的表现。

    届时，我相信部分的答案也许在于：我们过去问了许多错误的问题，也错误地区分了“超验”与“自然世界”。但一旦能看到这个答案，应该算是相当不错的成就了。当那天来临时，这个答案将改变整个人类文明。

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