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19世纪末20世纪初，随着实数理论体系的完善，代数从几何中完全脱离，众多数学家都认为数学的大厦已经建造完成，尤其是康托尔集合论的提出，集合已成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。 可惜，这个时候罗素发现了集合论中的漏洞，他派出的理发师差点掀翻了整个数学大厦。 我们知道，集合论中元素有三大特性：确定性、互异性、无序性。罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。集合S是由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。 而罗素悖论的大白话版本也就是著名的理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 这就是数学史赫赫有名的“一个理发师冲进了大厦，把整个大厦搞了个天翻地覆，甚至直接动摇了整个数学大厦的地基。而至今为止，也依然没有人把这个理发师请出去”事件。 罗素的理发师悖论使得数学的理论基础发生动摇，集合论中为什么会产生矛盾？这是一个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴,由此触发了“数学是什么”这来自灵魂深处的拷问。 两千多年来，数学家们一直试图从少数公理出发，根据明确给出的演绎规则推导出其他数学定理，从而把整个数学构造成为一个严密的演绎大厦，然后用某种程序和方法彻底解决数学体系的可靠性问题。数学哲学的基本目标是解释数学，并由此说明数学在整个理智事业中的地位。 而这来自灵魂深处的拷问也直接引发了罗素和数学界领袖希尔伯特的battle，希尔伯特领导的哥廷根学派是世界数学的中心，那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派，哥闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，并为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析；“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。 希尔伯特在众多数学家眼中就是武林盟主的存在。而罗素则是当时著名的多面手，文理兼通的大家，尤其在哲学方面，是分析哲学的主要创始人。 罗素和希尔伯特之间的论战整整贯穿了20世纪上半个世纪，20世纪初真的是科学大繁荣、大爆炸的时期，物理界有爱因斯坦与哥本哈根学派之争，而数学界则有罗素与哥廷根学派之争。 罗素在德国数学家弗雷格“分析的算术化最后必然建立在自然数理论之上，而对自然数理论的探讨有必要研究数的概念以及正整数命题的性质”的基础上主张“数学即逻辑”，在《数学的原理》及《数学原理》中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容： 1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。 2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。 3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 罗素在与怀特海完成于1913年的《数学原理》是逻辑学派的经典巨著,他们宣称全部数学可以从一个逻辑公理系统严格地推导出来，从而使数学建立在逻辑基础之上。 但是希尔伯特不认同这样的观点，希尔伯特指出：“如果我们深入考察那就会承认，在我们叙述传统的逻辑定理时，即已用到某些基本的算术概念”。例如用到了集合的概念。甚至在某种程度上用到了数的概念,于是我们发现自己陷入了某种循环。 希尔伯特认为“数学即形式”，皮亚诺断言一切数学都可以用符号加以形式地表述,而希尔伯特则进一步发展了这样的观念，他认为所有数学应该用一种统一的严格形式化的语言，并且按照一套严格的规则来使用。 在希尔伯特看来，每一门数学都可以看成基于它的公理的一个演绎系统，它们是根本不会产生逻辑矛盾的，亦即是协调的。数学的可靠性就在于它的协调性。从一组公理推导出一系列定理，这样形成的演绎体系叫作公理系统 希尔伯特受到“非构造性证明”和“排中律”的启发，根据1900年自己关于证明算术公理的相容性思想，力图通过形式化方法把具有直觉内容的公理系统变成没有内容的形式系统，然后应用有穷方法直接研究形式系统的相容性，从而保证它的模型—原先的数学理论的相容性.从而诞生了著名的希尔伯特计划。
希尔伯特计划就是指建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。 希尔伯特计划有两大原则其一为彻底地形式化；其二为有穷主义。无前者则一门古典数学理论及其所用的逻辑将无从得到精确表达，因而不能成为确定的研究对象；无后者则难以保证所用工具不超过系统TF内所有的工具，无法避免循环论证。 简单来说，“希尔伯特计划”有点类似于程序员编码时使用的编程语言，欲把所有数学形式化——所有数学表述都应该用一套具有统一标准的数学语言，并且按照一套严格的规则来使用。 那么到时候无论多深奥、多复杂的数学猜想，只要我们按照这个方法来做，“真相大白”只是时间问题而已。 之所以会这样做是因为希尔伯特是纯数学的捍卫者，他是要在有穷主义中保存实无限观点下的古典数学，而把全部数学划分为具有真实意义的“真实数学”和不具有真实意义的“理想数学”，并希望通过有穷主义的构造性方法去证明理想数学的相容性，以使实无限性的理想成分在应用上的有效性与上述有穷主义立场获致统一。 希尔伯特和罗素斗地正欢，有些吃瓜数学家觉得两者都讲的不对，代表人物就是布劳威尔，1908年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。矛头直指希尔伯特。布劳威尔后来一直揪着排中律不放，声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的......它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。” 1917年至1920年，他提出并进一步发展了直觉主义，认为直觉主义,或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。 任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种；但它不是唯一的一类。 直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。特别的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否定。(参看直觉逻辑.)
直觉主义也拒绝实际无穷的抽象；也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。 这一下整个数学界就炸成了一锅粥，陷入了三方混战的状态，谁都不服谁，比如面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评，希尔伯特认为经典数学，以及在集合论基础上发展起来的新数学，都是人类最有价值的精神财富，是不能丢弃的,他说：“禁止数学家使用排中原则，就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样”。
到了后期，罗素反而有点像吃瓜群众，布劳威尔和希尔伯特斗地那是一个轰轰烈烈，双方论战数次，然而因为布劳威尔的性格问题，直接得罪了《数学年鉴》主编之首克莱因，导致后来希尔伯特接手《数学年鉴》，两个人之间的论争从数学也延伸到了生活工作之中。 布劳威尔想获得爱因斯坦的支持，然而之前就和希尔伯特battle过的爱因斯坦却表示惹不起：“很遗憾，我像一只无知的羔羊甩入了数学的“狼群”......因此，请允许我保持我的“既不嘘又不呸”的态度，也请允许我扮演一个对他们的行为感到不可思议的角色”。
三方的争论并没有和爱因斯坦和哥本哈根学派之间的论战一样，至今没有结论，哥德尔的横空出世直接终止了这场持续30年的论战。
哥德尔一开始是站在希尔伯特形式主义这边，1930年哥德尔开始考虑数学分析的一致性问题，但是在不断深入研究之后，他对希尔伯特计划表示了质疑， 哥德尔提出：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。他总共包含两大定理：第一定理即任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否；第二定理即如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。可是却粉碎了希尔伯特的梦想。并且直接为数学界想要就“数学是什么”这一基础型问题得出答案的宏伟目标划上了一把叉！ 哥德尔定理的重要意义在于向世人澄清了“真”与“可证”概念的本质区别,可证的一定是真的，但真的不一定可证。根据哥德尔定理，任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题。用原有的公理组不能判定其真假,如果将这个不可判定命题作为公理加入，又将出现新的不可判定命题。如此看来，可证命题和终极数学真理之间将始终隔着无穷远的距离！
哥德尔爱因斯坦 他说：“数学不仅是不完全的，还是不可完全的”。大概意思就是说你越想要知道“数学是什么”，就越难得到这个答案，追求绝对可靠的数学基础就是一场幻想。（不少人则因为哥德尔不完全性定理转投了直觉主义） 这和哥本哈根学派的测不准定理到有些相似，本哈根学派认为微观世界物质具有概率波等存在不确定性，不过其依然具有稳定的客观规律，不以人的意志为转移，所以人类并不能获得实在世界的确定的结果。 虽然他们的主张被宣告破产，却直接影响了未来数学的发展方向，逻辑主义发展出来的逻辑被称为“数理逻辑”，开创了逻辑学史上继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后的第三个高峰，对现代数学、哲学、语言学和计算机科学的发展均产生了极为深远的影响。
而直觉主义让构造性数学成为与现代计算机科学密切相关的重要学科，希尔伯特从公理系统的逻辑结构研究出发,建立了近代公理化思想体系,创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。 数学就是一场场论争中不断完善发展，从而推动整个社会的进步发展，促进人类文明走向更高的层次。
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