备战高考数学——立体几何中的最值问题

立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面 .

①此类问题 多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、

空间角与距离的求解等,题目较为综合 ;

②此类问题 充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，

比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．

解决此类问题一般可从以下三个方面思考：

1、利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；

2、根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；

3、将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。

一、距离最值问题

【例题1】如图 (1) 所示，矩形 ADFE ，矩形 CDFG ，正方形 ABCD 两两垂直，

且 AB = 2 ，若线段 DE 上存在点 P 使得 GP⊥BP ，则边 CG 长度的最小值为多少 ？

图（1）

【解析】

分别以 DA , DC , DF 为坐标轴 建立空间坐标系，如上图（1）所示 ：

设 CG = a , P(x , 0 , z) ,

则 x/2 = z/a , 即 z = ax/2 . (相似三角形的性质)

又 B(2 , 2 , 0) , G(0 , 2 , a) ,

所以 向量 BP = {x-2 , -2 , ax/2} , 向量 GP = {x , -2 , ax/2-a} .

注意：向量不仅有大小而且有方向！

向量 PB ▪ 向量 PG = x(x-2) + 4 + ax/2 ▪ (ax/2-a) = 0 . {向量垂直}

∵ x ≠ 0 且 x ≠ 2 ,

∴ a^2 = 16/(2x-x^2) - 4 .

∵ x∈(0 ,2) ,

∴ 2x-x^2 ∈（0 , 1] ,

∴ 当 2x-x^2 = 1 时，a^2 取得最小值 12，

∴ a 的最小值为 2√3 .

二、面积最值问题

【例题2】已知球 O 是正三棱锥 (底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心) ，

A - BCD 的外接球，BC = 3 , AB = 2√3 , 点 E 在线段 BD 上 , 且 BD = 3BE，

过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 （ ）.

A.[π，4π] B.[2π，4π] C.[3π，4π] D.（0，4π]

【答案】B .

化立体问题为平面问题,结合平面几何的相关知识求解 .

在求解过程当中会结合一些平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等 .

【例题3】如图 (2) 所示，在三棱锥 P - ABC 中，PA⊥面 ABC，AB⊥AC 且 AC = 1，

AB = 2 , PA = 3 , 过 AB 作截面交 PC 于 D，则截面 ABD 的最小面积为 （ ）.

图（2）

【答案】C .

【解析】

如图 (2) 所示，当 PC⊥面 ABD 时，截面 ABD 的面积最小，此时有

三、体积最值问题

【例题4】如图 (3) 所示，已知平面 α 交平面 β = l , α⊥β，A，B 是直线 l 上的两点，

C，D 是平面 β 内的两点且 DA⊥l , BC⊥l , DA = 4 , AB = 6 , CB = 8 .

p 是平面 α 上的一动点 , 且有 ∠APD = ∠BPC，则四棱锥 P-ABCD 体积的最大值是 （ ）.

图（3）

A. 48 B.16 C.24√3 D. 144

【答案】 A .

本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题.

求最值的常见方法有

①配方法 ; ②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法 .

若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；

本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法 ① 解答.

四、角的最值问题

【例题5】如图 (4) 所示，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB , BC 的中点 .

设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 θ ，则 cosθ 的最大值是多少？

图（4）

【答案】 2/5 .

【解析】

建立如图 (5) 所示的空间坐标系 .

图（5）

设 AB = 1 ，则 向量 AF = {1 ,1/2 , 0} , E(1/2 , 0 , 0) .

设 M（0，y，1）(0 ≤ y ≤ 1) , 则 向量 EM = {-1/2 , y , 1} ,

由于异面直线所成角的范围为 （0，π/2 ] , 所以

令 8y + 1 = t , 1 ≤ t ≤ 9 , 则

当 t = 1 时取等号，所以

当 y = 0 时，取得最大值 2/5 .

空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解。

解本题要注意 :

空间两直线所成的角是不超过90度的 ;

几何问题还可结合图形分析何时取得最大值 .

当点 M 在点 P 处时，EM 与 AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），

当点 M 向左移动时，EM 与 AF 所成角逐渐变小，

点 M 到达点 Q 时，角最小，余弦值最大 .