高考数学：函数三大性质之周期性规律归纳及应用！2019高考微专题

函数的周期性是函数的三大性质之一，下面将周期性有关的规律及运用归纳如下：​

​(7)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b-a|;

(8)若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b-a|;

(9)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a;

(10)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a.

3.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

经典例题：

已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=( )

A. -50 B. 0 C. 2 D. 50

思路分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

解析：因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，

所以f(1+x)=-f(x-1),

∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1), ∴T=4.

因此f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)

=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，

因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+……+f(50)=f(1)=2，选C.

答案：C

总结：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

经典例题：

已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

A.6 B.7 C.8 D.9

思路分析：确定当0≤x<2时，函数图象与x轴的交点个数→根据f(x)是以2为周期的周期函数，确定当2≤x<4时函数图象与x轴的交点个数→同理得出当4≤x<6时函数图象与x轴的交点个数，并确定x=6时是否有交点→由各区间交点个数，即可得出正确选项。

解析：当0≤x<2时，令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.

当2≤x<4时，0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),

所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),

所以当2≤x<4时，y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.

同理可得，当4≤x<6时， y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.

当x7=6时，也符合要求.

综上可知，共有7个交点.

答案：B

总结：(1)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值。

(2)函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律。因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题。