函数的基本性质考纲与考向解析

考纲原文

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

知识点讲解

一、函数的单调性

1．函数单调性的定义

2．单调区间的定义

若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间．

注意：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．

3．函数单调性的常用结论

（1）若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数；

（2）若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；

（6）一些重要函数的单调性：

4．函数的最值

注意：

（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

二、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特点

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

2．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2）f(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

（3）若奇函数的定义域包括0，则f(0)=0．

（4）若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|)．

（5）定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)+f(-x)为偶函数，f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)f(-x)为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

三、函数的周期性

1．周期函数

对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期（若不特别说明，T一般都是指最小正周期）.

注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

3．函数周期性的常用结论

设函数y=f(x)，x∈R，a>0.

①若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a；

②若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a；

⑤函数f(x)关于直线x=a与x=b对称，那么函数f(x)的周期为2|b-a| ；

⑥若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b-a|；

⑦若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b-a|；

⑧若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a；

⑨若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a.

考向分析

考向一 判断函数的单调性

1．判断函数单调性的方法：

（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．

（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．

（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．

（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.

2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．

考向二 函数单调性的应用

函数单调性的应用主要有：

（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．

（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．

考向三 函数最值的求解

1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最小值为f(b)，最大值为f(a).

2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.

3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.

4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.

【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.

考向四 判断函数的奇偶性

判断函数奇偶性的常用方法及思路：

（1）定义法：

（2）图象法：

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.

注意：

①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断f(x)与f(-x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

考向五 函数奇偶性的应用

1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：

（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

（2）已知函数的奇偶性求解析式.

已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数 ⇔ f(x)=f(-x)，f(x)为偶函数⇔ f(-x)=f(x)，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列式f(0)=0求解.

（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.

利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.

2．对称性的三个常用结论：

（1）若函数y=f(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；

（2）若对于R上的任意x都有f(2a-x）=f(x)或f(-x)=f(2a+x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；

（3）若函数y=f(x+b)是奇函数，即f(-x+b)+f(x+b)=0，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称．

考向六 函数周期性的判断及应用

（1）判断函数的周期，只需证明f(x+T)=f(x)，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.

考向七 函数性质的综合应用

函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：

（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.