备战中考：和圆有关的定值问题的求解方法

平面几何中的定值问题，是指当点或线按照某种条件运动时，图形发生位置、形状或大小的变化，图中的某些几何元素的几何量却保持不变的情况.

证明定值问题常用如下两种方法：

⑴特殊情形探求法.

从所研究对象的特殊情况或特殊位置寻求出定值，然后证明一般情况或一般位置下等于这个定值.

⑵直接计算法.

根据题设及相关的定理，计算出所需要研究量只与不变量有关.

下面具体举例说明.

【典例1】

已知：如下图，AB、DC与圆O分别切于A、D，且AB∥DC，E为圆O上任意一点，过E作圆O的切线分别与AB、DC交于点B、C两点.求证：AB·DC是定值.

思路历程：其实本题难度并不大，我们不重结果只是学习方法.若AB·DC是定值，我们可以先分析这个定值是多少？由此出发，可以取点E为特殊点，如BC⊥AB，连接OA、OE，则四边形ABEO为正方形，如下图1，则AB=OE，同理DC=OE，则AB·DC的定值就是OE^2.这就为我们提供了努力的方向：尽量使线段AB、DC与半径OE之间建立联系.

证明思路：连接OB、OC、OE，如上图2所示.

∵ AB∥DC，∴∠CBA+∠BCD=180º. ∵ BA、BE是圆O的切线，∴ AB=BE，∠CBO=1/2∠CBA.

同理，CD=CE，∠BCO=1/2∠BCD. 则∠CBO+∠BCO=90º，∴ ∠BOC=90º.

∵ BC是圆O的切线，∴ OE⊥BC. 可得△BOE∽△OCE，∴ OE:CE=BE:OE，

∴ OE^2=BE·CE=AB·DC. ∵ OE是圆O的半径，∴ AB·DC是定值.

【典例2】

已知：如下图，圆O和圆M相交于D、E两点，过点D任作两条直线AA＇与BB＇交圆O于点A、B，交圆M于点A＇、B＇，BA与A＇B＇相交于点C.求证：∠C为定值.

思路历程：探求定值，如下图1所示，取特殊图形让AA＇与BB＇重合，而且与OM平行，A（B）C、A＇（B＇）C分别为两圆的切线，则∠C=180º-∠AEA＇=∠EAD+∠EA＇D=1/2（∠EOD+∠EMD）（定值）.

证明：连接DE、AE、A＇E，如上图2.∠C=180º-（∠CB＇B+∠B）=180º-（∠DEA＇+∠AED）=∠DAE+∠DA＇E，∵∠DAE、∠DA＇E为定值，∴ ∠C为定值.

反思：首先选取特殊图形，探求出∠C等于公共弦所对两圆的圆周角的和.本题运用三角形、圆内接四边形的外角定理、三角形的内角和定理，得出∠C等于两个定角之和.

【典例3】

已知：如下图所示，圆O和圆M内切与点P，圆O的切线BE经过圆M的圆心，切点为C，PC的延长线交圆M于点A，圆O与圆M的半径分别为r、R（其中R≥2r）.求证：PC·AC是定值.

思路历程：如下图所示，连接PE、BA，易证△PCE∽△BCA，由此可得PC·AC=EC·BC，∵EC·BC=（R-CM）·（R+CM）.由于R为圆M的半径，因此只要说明CM是定值，即可证得PC·AC的积就是定值.连接OC、PM，则PM经过点O，由题意易得△OCM是直角三角形，OM=PM-OP=R-r.在Rt△OCM中，CM=√OM^2-OC^2=√(R-r)^2-r^2=√R^2-2Rr. ∴ PC·AC=EC·BC=（R-√R^2-2Rr）·（R+√R^2-2Rr）=2Rr. ∴ PC·AC是定值.