正交阵的诞生上节课我们讲了相似对角化,进一步地,再特殊一点,如果A矩阵是一个对称阵呢? 或者说,如果对称阵进行相似对角化分解呢: 这时我们把对称阵进行相似对角化分解得到的特征向量矩阵Z,称为 正交阵。 规范正交基假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基或'规范正交基'(Orthonormal basis)。 其实,一个正交矩阵就是一组规范正交基。 看看正交阵长什么样子吧: Z矩阵中的向量,无论是列向量还是行向量,单位长度都是1,而且两两正交。 正交阵性质正交阵与自己的转置相乘,得到单位阵I。 来证一下: 从上面过程中,我们再一次重温了—— 矩阵本身可以看成是向量的向量。 正交阵性质1:保证向量长度不变向量 x 的长度,用它的模 |x| 表示。如果这个向量进行了 Z 矩阵代表的变换,变成了 Zx,可以保证,长度没有发生变化,即: 那么,长度没变,什么变了呢,相对于原坐标系的角度变了呗。 正交阵性质2:保证向量夹角不变两个向量 x 与 y 的夹角,用它们的内积来表示,即 (x,y),如果分别进行了 Z 矩阵代表的变换,夹角也不变,即: 也就是说,如果一个物体上画两条线,可以想象,进过了Z变换,两条线的长度和夹角都没有变化,只是相对于原坐标系发生了变化,这说明什么? 正交阵的本质意义 |
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