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我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

2019-02-06  京津冀书馆

作者:“逃学博士”

原创,转载请注明出处

01 开场白

我的大学《微积分》01:探索数列与极限的可视化教学

在第一节里,我们讨论了数列的一些知识点。在数列中,每一项的值都与 n 有关,而 n 是一切正整数的集合 (1, 2, 3, ... , n ... )。

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数列

自然而然地,如果将 n 的范围扩大到 x轴上的任意数时,我们就可以来讨论函数了。

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函数

02 “ε-δ”方法

在讨论函数极限的时候,基本上都是使用 “ε-δ”的方法。而极限也是通过“ε-δ”方法定义的。

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

函数极限定义(一)

对于初学高等数学的同学来说,“ε-δ”方法求证函数极限是非常艰涩难懂的,需要很多题目的练习才能熟练运用。便于大家立即“ε-δ”方法,特意做了一个动图去解释一下。

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

图1:“ε-δ”方法

如图1所示,“ε-δ”方法的过程:

  • 假设任意一个正数

    ε;

  • 根据

    |f(x) - A| < ε

    f(x)

    的定义求得

    x

    ε

    的关系

  • 最后,由

    x

    ε

    的关系去推导出

    δ。

注意点:一定是先假定 ε,再去推导 δ;反过来可不行。

03 左极限和右极限

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

图2:左右极限相等

如图2所示,在曲线上存在点A,点B和C分别从点A的右侧和左侧不断向点A逼近。

如果我们将点A强行分成A-(A点左边)和 A+ (A点右边)。那么,点C不断逼近 A-,而点B不断逼近 A+。

因此,我们就定义 A- 为函数在点A的左极限,而 A+为函数在点A的右极限。而图2 正好是左极限A- 和右极限 A+相等。

左右极限有没有可能不相等呢?答案:当然有可能

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

图3:左右极限不等

图3中的函数是一个分段函数,表达式如下所示。

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图3中函数

那么,在 x = 1时,函数是否存在左极限和右极限呢?

  • 点C从 x = 1的左侧不断逼近点A,A点即为函数的左极限;

  • 点D从 x = 1的右侧不断逼近点B,B点即为函数的右极限;

大家应该发现了,在图3的情况下,左、右极限都存在,但是不相等。

定理:函数在 点a 处存在极限 limf(x) = A 的充分必要条件是点A处同时存在左、右极限,且左、右极限都等于A。

04 x趋于无穷大的极限

前面我们讨论了 x 趋向某一点时的极限问题,如果 x 的绝对值无限增大,那么这种情况的极限又是什么呢?

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

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图4:无穷大处极限

在图4的函数 f(x) = 1/x 中,点A和B分别向 x轴 +∞-∞ 方向运动。同时,我们看到点A和B不断逼近 x轴。由此,我们可以得出以下结论:

我的大学《微积分》02:可视化函数的极限的讨论

和大家一起回顾了函数的极限问题。对于怎么求函数的极限,我们会在后续的文章中一一给出讲解,大家先将极限的知识给理解通透了即可。

05 总结

这一节讲了一些微积分前的热身知识,主要涉及函数极限问题。

下一节我们会主要讲解 两个极限存在准则:夹逼定理和单调有界原理,以及两个重要的极限。

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