生无可恋的高数课堂

叮铃铃......

高数第一堂课. 映射与函数，20多页，老师45分钟就讲完了，完全懵逼了，有木有~

更有甚者，如果老师高估了学生的自学能力，而直接从数列的极限开始讲授，势必把学生一下子给带坑里去了。。。

从此，这个世界真的生无可恋，死亦无对证！

映射与函数还好办，毕竟这部分内容是高中接触过的. 能走进象牙塔，课后花点时间，理解这部分内容应该不存在智商的问题.

可是，到了数列的极限，绝大部分同学直接就晕了，开始严重怀疑自己的智商. 然后就各种爆粗口，你妹这么丑陋难懂的语言是谁弄出来的，你丫给我站出来，看我不被你整死.

那么，极限真有那么困难吗？

微积分诞生于17世纪70年代，不论是连续、微分、积分还是级数等，都不可避免地要和极限打交道. 那个年代的数学家是凭借直觉做数学的，逻辑上很难把极限讲清楚，受到很大的诟病.

这个 到底应该如何解读？

直观上这是容易理解的：趋近于无穷大的时候，会随着无限接近.

接近是主，接近是从，主人靠近，仆从不敢不靠近.

我们必须承认，上述说法不但含糊不清，而且容易产生误解. 如果只停留在这种感性认识上，任何有意义的深入讨论都将无法进行下去. 我们必须给出严格的数学定义.

但要从逻辑上把上述问题讲清楚，却是异常困难的.

一直到19世纪20年代Bolzano，Cauchy等人提出新的观点，而有语言的出现，把主从反过来看，1860年Weierstrass才严格地用今天的语言来处理极限问题.

至此，微积分才算建立起无暇的逻辑基础.

定义：对于数列而言，为实数，我们说

是指，若对任意给定的，恒可找到，当时，

注记

1.   的任意性：源于希腊语“error”，是误差的意思，用来衡量与的接近程度. 既有任意性，又有确定性. 因为只有当给定时，才能找到相应的.

   
   

2. 的相应性：虽然随着变小而变大，但并不是的函数，这是由于不是由惟一确定，极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数，我们只关心的存在性.

   
   

3. 几何意义：含除有限项外的所有项.

   
   

4. 从极限定义可知，一个数列收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无半毛钱关系. 换句话说，你可以随意修改数列的有限项，而不至于影响其收敛性.
   

禅语：既有任意性，又有确定性！少年你懂了吗？

要把极限讲清楚，主从必须颠倒，是我们的小公举，是仆从，小公举要睡觉了（），仆从必须把床铺好（找出来）.

这个主从转变的思想，花了将近200年.

语言是微积分的基石和工具. 要学好乾坤大挪移，必须要有九阳真经的基础，希望童鞋们在学习微积分时必须把这基础打好！

在学习极限时，上述晦涩难懂的定义是首先遇到的问题，而第二个难点在于，如何利用定义去证明数列的极限.

我们首先给出极限的如下等价定义.

其中(3)、(4)是我们今后常用的. 另外，(4)中的 k 是与，无关的正常数.

例：证明

一般思路：对任意给定的，从不等式出发，去分析一个不等式（一个与有关的很大的正整数），然后取即可.

证：

要使

只须

即

于是取

则当时，就有

另外，记住一些重要的数列极限，对大家今后的学习是大有裨益的.

对于数列极限(以及后面函数的极限)，解释太多也无益处. 就像现在流行的鸡汤文，如果没有经历过，你是很难理解其中的所谓人生道义的. 同样的道理，没有经过大量长期而艰苦的训练，要理解极限简直就是 Mission impossible. (图片和部分文字源于网络)

不多说了，上视频！

孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.

极限之美，在悟！