“成也热学，败也热学”的傅里叶先生

数学家们从事的工作总是把那些看起来纷繁复杂的问题抽丝剥茧，转化成我们可以方面处理的结果。或者是，他们创造一种方法，可以针对某一项复杂问题，可以去分析我们需要的一些性质。

数学家 泰勒

大家对泰勒公式应该都比较熟悉了，这个公式是用多项式的和来拟合任意一条已知或者未知的曲线。当我们把一个五花八门的函数用泰勒公式展开之后，它们清一色的都是按照次数从低到高的多项式排列着，你想近似计算，没问题；你想证明不等式，也没问题，你想做曲线拟合，毫无压力。这样通过对简单的代数多项式的分析，最终来达到分析整个函数的目的。将复杂问题逐步细化，再逐步攻破的过程，正是无数数学家孜孜以求的不懈目标。

对于一般函数来说，有没有别的展开办法呢？不仅仅可以展开成代数多项式，比如对于那些有周期性的函数来说。答案当然是有的，19世纪就有人做了这样的工作，现在傅里叶先生登场。

傅里叶

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国数学家，物理学家，在数学上最大的贡献就是发现了傅里叶级数。傅里叶这个人对热学有着极度的痴迷，1807年，傅里叶 向法国科学院《热的传导》这篇论文，论文里傅里叶先生首次提出，任何函数都可以分解成三角函数的无穷级数形式。

为什么要用三角级数来对函数进行展开？说到周期函数，大家最熟悉的是什么？当然是sinx,cosx啊。这两个函数有个非常难能可贵的性质：第一，它们的周期很容易确定。第二，它们的导数，原函数都是在彼此之间来回转换，不会出现什么别的形式，这也就是为什么那么微分方程的解到最后都是含有这样两个三角函数形式的原因，这在数学上有个很专业的词，叫本征值。第二，它们的周期很容易确定。

自然界的几乎所有信号，都可以看作是无穷多个三角函数信号的叠加，有基波，二次谐波，三次谐波等等。我们可以用几个简单的谐波去构造出一个几乎完整的信号，虽然这个信号不完美，但是也可以达到我们的精度要求了。

不同次数谐波傅里叶级数与真实函数的逼近程度

傅里叶发现的公式是

傅里叶级数公式

暂且不去探讨这个式子是怎么诞生的，如果要深究这个式子诞生成立的全部原因，那么这篇文章就跟高数教材无异了。只从几个方面来说明一下这个公式巨大的意义。

这个公式让我们意识到，任何信号，我们听到的，看到的任何信号，都是一段有周期或者没有周期的波形，我们也都可以用三角函数的级数和来接近这个波形。即使我们没有办法做到无穷级数形式，我们也可以高度近似地接近这个实体的信号，直到我们模拟的波形达到要求为止。

拉格朗日——高数中最恐怖的名字

按道理说傅里叶提出的这个级数形式，有着很大的历史意义，我们找到了一种全新的方式来分解函数，之前只能是代数多项式，现在可以用三角级数了。但是，1807年，负责评审傅里叶论文的三位导师们却被反对通过，这三位也都是数学大师，拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，他们姓氏的首字母都是L，所以他们又合称法国数学界3L。其中拉格朗日的理由最为有趣，他认为，正弦级数没办法去合成一个带棱角的信号。

三角级数逐步逼近方波信号

那个时候，我们又不能用计算机去拟合曲线，更加不能用手算的方式去合成。后来人们惊奇地发现，拉格朗日和傅里叶都是对的，因为现在早已证实，假如只用有限多个三角级数的确没办法做到产生绝对有棱角的信号。但是理论上傅里叶给出的是无穷多个三角级数的形式啊，假如我们愿意一直去拟合，那么就会无穷接近那个带棱角的信号，在这一点上，傅里叶明显更加正确。

如果傅里叶级数仅仅是在计算上的作用，可能也不会在信号分析领域有如此大的影响。后来诞生了傅里叶变换。基于下面的公式，有正变换，逆变换。

傅里叶变换公式

正变换里，等式右边是时间t，左边却变成了频率ω，这是两个概念，怎么可以放在一起比较呢？

这正是傅里叶变换的精髓所在，时域到频域的变换。什么叫时域，我们经历过的任何事件都是与时间相关的，今天我要去哪儿，那趟车什么时候走，我在路上要花费多久？无不与时间相关，然而，我们若是想把这些事情记录下来，却很困难，但是若通过某种算法，把时域转换成频域信号，计算机处理起来就容易多了，它可以先用最简单的正弦波信号逐步叠加，并最终模拟还原出原始的信号。

时域到频域的转换

针对于时域到频域的转换，我们可以在很多方面都有重要应用，在图像降噪方面，声音处理方面，电工学的滤波处理方面等等。实际上，用最简单的正弦级数的适当组合就可以组成任何连续的函数，这一点很像是化学里原子的构造，构成这个世界的基本元素本来就很简单，是组合的规则才让它们无所不能。

傅里叶变换应用——图像处理

傅里叶级数，当初只是傅里叶在做热分析时给出的一套方法，却放之四海而皆准。1822年，傅里叶出版了专著《热的解析理论》，在此书中，三角级数的理论得到更加完善的成果。同年，傅里叶当选为法国科学家终身秘书。

然而傅里叶是成也热学，败也热学。晚年时期，傅先生对热学极度痴迷，甚至到了认为温度可以治疗一切疾病的地步。1830年的夏天，傅先生病了，也不去看医生，在家里封锁门窗，裹上被子，企图用他的热学理论来驱赶病魔，结果，热学没有为他驱走病魔，却把傅先生本人给带走了。于是5月16日，傅先生卒。