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编者按：本文系笔者于大三下学期参加大学生创新创业项目时所写,当时笔者作为一名数学师范学生，跟组长和另两位成员计划写作三角函数的一些内容。本文是笔者联系三角函数与大学数学知识的一点尝试，尽管内容是初等的，但或许可以给数学基础不好的朋友们一点帮助！（前文阅读：三角函数的拓展知识(I)） 2、欧拉对进行多项式展开我们在上面已经阐述过可以用一个多项式来逼近一个函数，对此大数学家欧拉（Euler） 做了另外一个令人惊喜的结果。他认为正弦函数可以与多项式进行类比，其类比的核心要点是:多项式可以通过其零点将其函数表达式给大致描述出来。 比如说对于二次首一多项式(注:首一多项式是指该多项式最高项系数为1次的)而言，若其零点为，那么我们就可以直接写出其函数解析式为。对于这种方法，相信读者在初中时就接触了不少，不应当感到陌生。而我们知道函数 的零点为，因此猜测是否可以将展开成关于自变量 的多项式的形式。事实上，欧拉就证实了这点，并将展开为 关于该公式的证明过程已经超出了高中生的认知范围之内，因此我们在此略过该证明过程。值得注意的是，关于该公式有其他意想不到的惊喜，即可以利用该展开式解决著名的贝塞尔问题。 所谓贝塞尔问题，是指求出下列无限项的和： 事实上，谁也想不到这个问题的最后结果会带有圆周率。另外，利用的展开公式也可以解决与贝塞尔问题类似的求和问题 该结果为，同样是带有圆周率。关于两个公式的推导过程，感兴趣的读者可以自行翻阅相关的微积分参考书(笔者注:在微积分的傅里叶级数一章节中可以找到)。 上述例子表明，当我们对一个数学问题感到无从下手时，不妨考虑用其他数学工具，也许就对问题的解决有极大的帮助，贝塞尔问题就是这样的一个典型例子。 3、欧拉（Euler）公式与三角函数的关系欧拉是一个在整个数学史上多产的数学家之一,他本人发现了诸多优美的数学公式。其中，欧拉公式被称为世界上最优美的公式之一(笔者注:"之一"或许都可以去掉)，就连勾股定理也未必可以与之相媲美。 之所以说欧拉公式很优美，是因为它没有任何多余的内容，将数学中最重要的几个数用一个式子全部联系到了一起:
★ 该公式中包含了五大常数，另外也有指数函数、正余弦函数囊括在内，所以该公式所蕴含的信息是深刻的。由于其中蕴含了三角函数在内，因此我们有必要深入研究下欧拉公式与三角函数之间的关系。 由欧拉公式，我们令来替代 ，得到 联立该公式与欧拉公式，作相加相减运算，得到 至此我们就可以看到正余弦函数与指数函数之间的关系。观察这一结果，我们不免惊讶于大自然的美妙之处，看起来不太相关的两类函数，实则之间存在着密切的联系。关于这两个公式我们也会在数学系课程《复分析》中深入学习。其实，欧拉公式的发现也是一件趣事，它其实是一次“一题多解”的产物。 1740年，欧拉曾就一个问题写信请教他的老师约翰·伯努利。他发现，一个微分方程的解可以由通过两种不同的方式给出。 这个微分方程是： 而这个解的两种形式是：,.对数学十分敏感的欧拉随即猜测这两个式子是相等的,于是便有了 与后来的 在他的进一步研究下,欧拉成功地证明了这两个公式，方法之一是前面提到的对三角函数进行"多项式展开".在欧拉的著名著作《无穷小分析引论》中,也可见被称为"上帝公式"的欧拉公式. 4、傅里叶级数与三角函数的关系傅里叶级数是法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题中提出。它的理论本质是十分惊人的，只要是满足了一定条件的周期函数，都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示,具体的形式是: 与此相关的一类分析学被称为傅里叶分析,它是研究信号的一种方法.关于这部分内容,其中涉及到许多数学与物理的专业知识，这里就不再展开了,对此感兴趣的朋友可以修读一下普林斯顿大学Stein教授的《Fourier Analysis》. 后记：本部分内容是两年前准备考研期间所写,犹记得当时一个星期会花一个上午时间去写作一部分内容,而现在看来却发现文笔实在是糟糕的很.如若是有评委专家看到了这部分内容,相信会认为当时的我们是在"瞎弄".的确,笔者现在认为当时的确是有点过于天真和盲目自信,或许是待在一个学校太久了有点井底之蛙的感觉,没有往更广阔的地方去捕捉更深远方的东西.笔者在编辑这份文稿时候,有诸多感慨,最让我值得思考和反思的一点是:自己离"认真"的标准还有多远? 其实做一件事情很能看出一个人的行事态度.不过有时候,我们往往并不它当回事罢了.迄今为止,在做事方面让我感到极其认真的有两位朋友:其中一位是陈跃老师;另一位,是笔者初高中时期的好友(上海财经大学本硕).当然,其他也有不少朋友做事很认真的,只是我没有一一列出罢了,仅列举给笔者深刻印象的两位. 最后分享一个数学家阿尔福斯写在《复分析》中的一句话:
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