9年级中考：一道中考题的变式思考

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在2018年深圳中考中第16题：

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠BCA和∠ABC的角平分线AE、BD相交于点F，若AF=4，则AC=（        ）。

此问题的解答已在前面的文章中详细解答过（详见据说大深圳今年中考数学很难：先围观两道压轴题）。

如果此题条件不变，而结果要求出此题图形上所有线段的长度，能否办到？或者说由线段AF、DF的长度能否决定Rt△ABC各边的长度和角度？

下面我们来探讨这个问题：

即已知条件不变，求9个线段：AC、BC、AB、CD、CE、EB、FE、AE、BF的值。

解开此题的关键是求得∠AFD=45º，然后根据含45º角作辅助线的方法（详见含45º角的三角形及辅助线作法（8年级、9年级培优）），构造直角三角形△FDG（如图1），求得DG=FG=1，AG=3。

过点F作FH⊥AC于点H，作FK⊥BC于点K（如图2）：

∵F为Rt△ABC的内心，

∴FH、FK为Rt△ABC内切圆⊙F的半径，

∴四边形HFKC为正方形，

根据角平分线定理（详见比例与相似高级教程（七）：相似三角形的角平分线模型）：

根据勾股定理，BC∶AC∶AB=3∶4∶5，

由CE∶AC=1∶3，得：

在Rt△ACE中，根据勾股定理：

在Rt△ACE中，根据勾股定理：

所以，我们依次算出了9个线段的长度，由此看出，DF、AF的决定了Rt△ABC各边的长度和角度。