【原】七下第3讲 图形平移与三角形知识点重难点精析

时间已到三月，开学也已两周，我想，是时候彻底收心了，本讲我们将7.3－7.4两节中的易错重难点进行整理，先认识三角形，再结合平移知识综合．

一、知识归纳

1、在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．

决定平移的两个要素：

（1）平移的方向；（2）平移的距离．

2、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．

一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等．

3、由不在同一直线上的三条线段，首尾依次相接组成的图形叫做三角形．

4、三角形第三边大于两边之差，小于两边之和，可以表示为|b－c|＜a＜b＋c．   

5、在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作这个三角形的高．

锐角三角形的三条高交于形内一点，

直角三角形的三条高交于直角顶点，

钝角三角形的三条高所在直线交于形外一点，

这个交点叫垂心．

6、在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作这个三角形的角平分线．

三角形的三条角平分线交于形内一点，这个交点叫内心．

7、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.

三角形的三条中线交于形内一点，这个交点叫重心．

二、典例分析

1、探究三边关系

例1： 现有两条长度分别为3、11的线段， (1)它们能和长度为5的线段组成三角形吗？ (2)若第三条线段能与之形成三角形，求长度范围？ 分析： 本题作为三边关系的入门题，要注意2点， (1)如果给出三条线段长度，比较较短两线段长度的和与最长线段的长度即可． (2)如果不给出第三条线段长度，则需要利用不等式|b－c|＜a＜b＋c来解决． 解答： (1)∵3＋5＜11，∴不能构成三角形． (2)设第三条线段长度为x， 11－3＜x＜11＋3，∴8＜x＜14．

例2： 若等腰△ABC周长为26，AB＝6，求它的腰长． 分析： 本题难度不大，却很容易错，AB可以作为腰，也可以作为底边，但是在计算好之后，要注意，三角形能否构成． 解答：

例3： △ABC三边的长a、b、c都是整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有_____个． 分析： 本题难度不大，却很容易错，AB可以作为腰，也可以作为底边，但是在计算好之后，要注意，三角形能否构成． 解答： ∵a＝8，a＞b＞c， ∴b、c只能为7、6、5、4、3、2、1中的一个， 还要满足b＋c＞a， 当b＝7，c＝2，3，4，5，6 ，共5个， 当b＝6，c＝3，4，5，共3个， 当b＝5，c＝4，共1个， 当b＝4，3，2，1 时，c均不符合题意，综上，共9个．

2、熟识三条线段

例4： 如图，∠ACE＝∠BCE，BD＝CD，AG＝CG，指出图中三角形的中线和角平分线． 分析： 本题是一个易错点，很多同学会漏，即便找到了线，属于哪个三角形也会错．这时，我们就要从概念定义入手， 中线是连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，那么就应该从中点出发，找其他点作顶点，确定之后，观察中点在哪条线段上，这条线段的两个端点和所找的顶点就构成了三角形． 角平分线是三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，角的顶点与交点之间的线段，那么就应该从角的顶点出发，找角平分线上的点，确定之后，观察角平分线上的点在哪条线段上，这条线段的两个端点和角的顶点就构成了三角形． 具体如点D是BC中点，剩下的点中，E，F，A可作顶点，则构成三条中线． 点G是AC中线，剩下的点中，D可作顶点，构成一条中线， CE是角平分线，上有三个顶点H，F，E可作顶点，构成三条角平分线． 解答： DE是△BCE的中线 DF是△BCF的中线 DA是△BCA的中线 GD是△ACD的中线 CH是△GDC的角平分线 CF是△ADC的角平分线 CE是△ABC的角平分线

例5： △ABC周长为16，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2的两个三角形． 求△ABC各边的长． 分析： 我们要明确周长差在哪？AD＝CD，BD是公共边，所以周长差在AB和BC，则考虑2种情况． 解答：

例6： 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝_______° 分析： 本题中，要求两角度数和，主要是求∠EAD的度数，注意到这个角必然为两个角的差，如求出∠BAD，∠BAE，两者相减即可，显然，这里的BF为角平分线是干扰条件． 解答：

3、平移，中线与面积

例7： 如图，在△ABC中，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCF，连接AF，若△ABC的面积为4，则△ACF的面积为________．  分析： 本题考查了平移的性质，点B的对应点是点C，则平移距离就是BC的长度，则CF＝BC，△BCA的面积与△ACF的面积相等． 解答： ∵BC＝CF，∴S△ACF＝S△ABC＝4．

例8： 如图，在△ABC中，BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且BD⊥CE，BD＝8，CE＝12，求△ADE的面积． 分析： 由点E是中点，可知△ACE的面积＝△BCE的面积，又由D是AC中点，可知△ADE面积等于△CDE面积，则△BCE面积是△CDE面积的两倍，根据BD⊥CE，可求出四边形BEDC的面积，从而△CDE面积可求，△ADE面积可求． 解答：

例9： 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，若S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝______． 分析： 本题直接求解出△ADF和△BEF的面积是比较困难的，那不妨利用整体思想，分别加上△ABF的面积，转化为△ABD和△ABE的面积差，这样△ABC面积就可以作为条件了． 解答：

上讲思考题答案