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【例 11】 求所有的质数P，使得4p²+1与6p²+1也是质数．
【解析】 如果 p=5，则4p²+1=101，6p²+1=151都是质数，所以5符合题意．如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，p²除以5的余数即等于1²、2²、3²或者4²除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果p²除以5的余数为1，那么4p²+1除以5的余数等于4×1＋1＝4除以5的余数，为0，即此时4p²+1被5整除，而4p²+1大于5，所以此时4p²+1不是质数；如果p²除以5的余数为4，同理可知6p²+1不是质数，所以P不等于5，6p²+1与4p²+1至少有一个不是质数，所以只有p=5满足条件．
【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上89‐98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．
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因数
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89
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90
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91
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92
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93
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94
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95
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96
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97
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98
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因数
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【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积．因此原题中的89‐98可以改换为1-10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：
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因数
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89
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90
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91
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92
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93
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94
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95
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96
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97
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98
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因数
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3
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7
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1
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9
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5
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6
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2
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10
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4
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8
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进而得到本题的答案是：
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因数
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89
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90
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91
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92
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93
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94
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95
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96
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97
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98
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因数
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91
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95
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89
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97
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93
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94
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90
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98
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92
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96
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【例 12】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a,a+2,a+5，则这个自然数是多少？
【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是290-233=57的约数，又是233-195=38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．
【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90+164=254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254-220=34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．
【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【解析】 根据题意，这三个数除以 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603÷A=K1……r1,939÷A=K2……r2,393÷A=K3……r3
由于r1=2r1,r2=2r3，要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．
这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
于是我们可以得到下面的式子：603÷A=K1……r1,(939×2)÷A=2K2……2r1,(393×4)÷A=2K3……4r3 这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A整除．939×2-603=1275,393×4-603=969,(1275,969)=51=3×17.
51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．
【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a+5、2a、a，求这个自然数和a的值.
【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：(429-5)×2=848,791、500×2=1000，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848-791=57、1000-848=152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而(57,152)=19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a=6时成立,所以这个自然数是19，a=6.
【模块三：余数综合应用】
【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
【巩固】 （2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于2009÷5=401……4，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
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