第378期：空间角的度量（一）

GeoGebra对空间图形的操作大概可以分为以下三种情况：第一种，在空间某个平面内对平面图形在平面内进行操作，这类操作在平面图形中都有涉及，不重复介绍；第二种，对平面图形在空间关于面的对称等进行几何变换，在空间得到相对应的图形；第三种，空间图形在空间中平移等进行几何变换。主要对后两种情形加以介绍。

空间角的度量与平面角的度量既有类似之处，也有不同之处。

图1

上图1中，首先创建空间三点，再选定“角”工具图标，沿逆时针方向选定空间中的三个点，在3D绘图区标示角度，在代数区得到相应的角度数值（默认是角度制）。

从“角”工具图标的提示词可以看出，运用该工具图标可以对四种情形度量出角的度数，图1是第1种情形，也可以运用指令“量角(<点>, <顶点>, <点> )”，输入“量角( A,B,C)”得到，比较这两种操作方式，指令中强调顶点是可取的。

指令“量角( <点>,<顶点>, <点> )”相应的英文指令为“Angle ( <点>, <顶点>, <点> )”。

图2

上图2看出在输入框输入“量角( A,B,C)”得到的是角度制下的度数，在运算区输入“量角( A,B,C)”得到的是弧度制下的度数。

图3

上图3中，直线f与直线g是异面直线，输入“量角(f, g)”得到的角α是“未定义”，这说明空间两条异面直线并不能度量出它们夹角的大小，直线h与直线f是相交直线，输入“量角(h,f)”得到它们间的夹角。

对于空间两条平行线，“量角”的结果是0度。数学上的夹角往往定义为大于0度小于90度，而Geogebra量角得到的范围有所不同，注意区分。

这里运用的指令为“量角( <直线1>, <直线2> )”相应的英文指令为“Angle( <直线1>, <直线2> )”。

图4

上图4中，首先创建向量u和向量v，输入框输入“量角(u, v)”，得到角α。这里运用的指令为“量角( <向量1>, <向量2> )”，相应的英文指令为“Angle( <向量1>, <向量2> )”。

图5

上图5中，输入“向量(D,C)”创建向量u，输入“量角( B, A, D, u)”得到角α，输入“量角( B, A, D, 向量(C, D))” 得到角β，可以看到这是两个不同方向形成的角，这里运用的指令为“量角( <点1>, <点2>,<点3>, <方向> )”，相应的英文指令为“Angle ( <点1>, <点2>, <点3>, <方向> )”。

图6

上图6中，首先创建空间一个平面内的多边形“poly1”，运用“角”工具图标，或输入指令“量角(poly1)”,得到该多边形的各个内角度数。

图7

上图7中，五边形“poly1”不在一个平面上，所以代数区显示的是“未定义”，但选定“角”工具图标后点击多边形内部，创建如图7中的5个角，显示出它们的度数，输入“量角(poly1)”,得到该多边形的各个内角度数（3D绘图区图中有角的显示）。

图6、图7说明对于多边形，量的度量需要多尝试，得到所需要的度数。

图6、图7运用的指令为“量角( <几何对象 圆锥曲线|向量|点|数字|多边形> )”，相应的英文指令为“Angle( <几何对象 圆锥曲线|向量|点|数字|多边形> )”。

数学观赏