初中数学：四种方法巧解一道初中生“害怕”的几何题

有这么一道初中几何题，条件平常，图形美观，小题大题都常见常考，然而学生普遍感到“害怕”，甚至不少同学手足无措，欲罢不能，终落折戟沉沙。且看题：如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2,DC=3,求AD值为多少？

先来审题：本题有个“好角”45°，快速检索思维，围绕这个45°可以做点什么事情呢？思维风暴：①本题高中方法来做，可以直接用两角和的正切公式，最便捷；②见到45°联想“正方形中的45°模型”将这个图形补成正方形，继而勾股定理计算；③考虑到BC=5所对的∠BAC=45°，联想到“定弦定角必有隐圆”模型，可以构造辅助圆解题；④构造“一线三等角”模型，再构造两个45°和∠BAC相等，利用相似解题。本题方法多多，先来展示上述思路。

方法1：构造“正方形中的45°”模型。这个模型内涵丰富，可用旋转等方法证明，在此不表。本题中，巧用结论中的2组全等，把条件收缩集中到直角三角形BCF中，利用勾股定理计算即可，如图：

方法2：构造'定弦定角必有隐圆”模型。圆心角∠BOC=2∠BAC=90°，△MOC是等腰直角三角形求出MO=MC=ND,和半径OC,然后直角三角形△ANO中勾股定理求出AN即可。如图：

方法3：构造“一线三等角”相似模型。相似证明本文不展开，只点明思路技巧。再结合45°角的特殊性，构造出两个等腰直角三角形，设AD=x表示出其他线段，最后通过相似结论AE·AF=BE·CF列出方程计算即可，如图：

当然了，本题还可用两角和的正切公式，非常干净利落。在此也提供给初中学生欣赏一下，公式证明待到高中会详细学习，在此不表。如图：

本题经典，平中见奇，方法精彩，简约不凡，值得好好品味研究，欢迎收藏分享评点！