中考复习：等腰三角形中四种常用的作辅助线的方法

几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显著，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰（边）三角形、利用截长补短法说明线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法说明线段的倍分关系。下面我们将一一进行举例说明。

方法一：作“三线”中的“一线”

例1：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF．

例1图

【分析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE＝AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE＝DF．

【解答】证明：如图，连接AD．

∵△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF，

又AE＝AF，

∴AD垂直平分EF，

∴DE＝DF．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．

方法二：作平行线法

例2：如图，△ABC中AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；

（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．

例2图

【分析】（1）由题意得出BD＝CE，由平行线的性质得出∠DGB＝∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，得出∠B＝∠DGB，证出BD＝GD＝CE，即可得出结论；

（2）由（1）得：BD＝GD＝CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM＝GM，由平行线得出GF＝CF，即可得出结论．

【解答】解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：如图1所示：

∵D、E移动的速度相同，

∴BD＝CE，

∵DG∥AE，

∴∠DGB＝∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠DGB，

∴BD＝GD＝CE，

又∵DG∥CE，

∴四边形CDGE是平行四边形；

（2）BM+CF＝MF；理由如下：如图2所示：

由（1）得：BD＝GD＝CE，

∵DM⊥BC，

∴BM＝GM，

∵DG∥AE，

∴GF＝CF，

∴BM+CF＝GM+GF＝MF．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

方法三：截长补短法

例3：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD+DC＝AB．

例3图

【分析】延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，得出等边三角形ABF，推出AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，推出∠ACF＝∠AFC，得出∠DFC＝∠DCF，推出DC＝DF即可．

【解答】证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，

∵∠ABD＝60°，

∴△ABF为等边三角形，

∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，

∴∠ACF＝∠AFC，

又∵∠ACD＝60°，

∴∠AFB＝∠ACD＝60°

∴∠DFC＝∠DCF，

∴DC＝DF．

∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，

即BD+DC＝AB．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是正确作辅助线，题目具有一定的代表性，有一定的难度．

方法四：加倍折半法

例4：△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C的度数是（ ）

A．20° B．30° C．45° D．60°

例4图

【分析】在DC上取DE＝DB．连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD＝ED，AD＝AD．证明△ABD≌△AED即可求解．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．

例5：如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC．求证：CD＝2CE．

例5图

【分析】延长CE到F，使CE＝EF，连接FB，由△AEC≌△BEF得出对应的边角相等，进而求证△CBF≌△CBD，即可得出结论．

【解答】证明：延长CE到F，使EF＝CE，连接FB．

∵CE是△ABC的中线，

∴AE＝EB，

又∵∠AEC＝∠BEF，

∴△AEC≌△BEF，（SAS）

∴∠A＝∠EBF，AC＝FB．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝∠EBF+∠ABC＝∠CBF；

∵CB是△ADC的中线，

∴AB＝BD，

又∵AB＝AC，AC＝FB，

∴FB＝BD，

又CB＝CB，

∴△CBF≌△CBD（SAS），

∴CD＝CF＝CE+EF＝2CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质．解决此题的关键是通过延长中线构造全等三角形．