弧角天星釋意

闻道国学风欲起 易学起落几多秋

中华沉浮五千年 世人皆醒事自休

弧角天星日课在造历馆或懂得的人有心予以神秘化，並垄断这项天文历算的应用，从明末清初以来已歷三、四百年，仍难一窥它的全貌。本文敘述它的释意、格式，有助揭开弧角天星的神秘面纱。

1.此图为假想的天球模型，图中央黑点代表地球，天球即由其无限延伸而形成。

2.观测者的头顶年线延伸於天球上，即是天顶Ｚ，即相对点为天底Ｚ'。

3.地球的北极点无限延伸至天球即是天球北极Ｐ，而其相对点Ｐ'为天球南极。

4.由地球看天球，在夜晚可看到天球上镶满星球，假设小道们要观测的是Ｓ(星)，其所在天球经圈或时圈为ＰＳＰ'。

5.观测者所在地球的地平方位圈，像天球无限延伸即是ＮＳＥＷ。

6.地球的赤道图，向天球无限延伸为天球赤道圈为ＱＥＱ'Ｗ。

7.图中ＳＰＺ的阴影区域即是天球球面界定而成的弧角，故有关算法美其名为「弧角天星」。

8.透过这种天球模型，利用球面三角学的数学计算，可轻易求出诸曜到山时刻、诸曜出没及日出日落时刻、诸曜高度、诸曜方位角、大气折射、视差、光行差、诸曜的移行邉印⒅T曜的瞬时位置、日食及月食、水星凌日、金星凌日...等和天星日课后天12宫各宫宫使点的黄道经度。

＜图一＞的弧角是天球球面诸圈相交错而截取的，凡圈不满全周360º者，皆可称为弧，两弧相交所夹者皆称为角。弧角的衡量以度、分、秒计之，1度=60分，1分=60秒。弧度取天球上诸圈截取之长度，角度取之於角旁两弧，当角度恰够象限者为直角，小於象限者为锐角，大於象限者为顿角。天球上三弧相遇，必成三角之形，若其中含有一直角者，称为直角球面三角形，古称正弧三角形；如果不含有直角，则称之为斜球面三角形，古称斜弧三角。

任何一个球面三角形，都有六个单元，即三条弧內夹三个角度，小道们以求算太阳到山时刻的3D立体图形进一步说明球面三角形之意义。此图录自《剑桥插图天文学史》

＜图二＞中太阳、天顶、天球北极为三个天球上的点，构成一个球面三角形(阴影部份)，分別由地平经圈、子午经圈、太阳时角圈，截弧而得的。此球面三角形的6个单元，绘图说明如下：

三条弧分別是：

(1)北天弧：北极距天顶之弧线，甲乙

(2)北日弧：太阳距北极之弧线，甲丙

(3)天日弧：太阳距天顶之弧线，乙丙

三个夹角分別是：

(1)北天弧与北日弧夹，甲角

(2)北天弧与天日弧夹，乙角

(3)北天弧与北日弧夹，丙角

任何弧角皆以度、分表示其值

若已知某些弧或角，充分了解球面三角函数的原理、公式，就可求算其他弧或角。依太阳到山咚悖鲜龅募捉羌辞笏愠嘟洉r角，已知某山向计算何时太阳到山到向；上述的乙角，即已知时间求算太阳到何山何向。

球面三角学是古希腊杰出天文学家西帕恰斯(Hipparchus，BC180-125)等人研创的，促使球面三角学发明的主要动力，来自人们为了想正確测量和推算天体的位置与移行的轨道，藉以帮助有关天文学等报时、计算日历、研究地理和航海发展等需要。

据传西帕恰斯发明弦表，梅尼劳斯主要討论解球面直角三角形的计算公式，托勒密(C.Ptolemy，AD100-178)在他们的基础下著手解决天文计算中要用到的球面三角形中的一些问题，並且得到相当於现今球面直角三角形的计算公式，但程序相当笨拙，为了求解一个未知量，需要有五个已知量。

在托勒密以后的3个世纪，印度的数学、天文学家阿耶別多一世(Aryabhata

I 约

AD476-550)对三角学作出及卓越的贡献，提出0º~90º间每3.75º的正弦表，而角度的正弦概念，即一个直角三角形中，他等於该角度的对边与斜边之比。

传给邻近的伊斯兰，由阿尔‧白塔尼(Al-Battani)和阿布‧瓦法(Abual

Wafa AD940~998)进一步推动三角学的发展，13世纪纳西尔‧图西(Nasir-eddinal-al Tusi,

AD1201-1274)更给出了求面直角三角形的全部基本公式，明確地指出由球面三角形可以求得三个边，由三个边可以求出三个角，大大地丰富球面三角学的內涵与功能，解决托勒密求算球面三角形的困扰与不便。

小道国的天文历算在明末清初之前，以代数学方法来处理天文数据的计算，虽也得到辉煌成就，但不若西方以几何数学方法处理的圆满，自从耶穌会教士带来几何、三角函数、对数后，才有新的风貌。

在求解球面三角形的过程已懂得三角函数的应用，后来穆尼阁来华更传入可使三角函数咚銣p化的对数咚悖偈固煳臅阉愦蠓M步。

经徐光启编纂《崇禎历书》所收录的《大测》、《割圆八线表》、《测量全义》都是三角函数的古典式解说；天体测量从十七世纪末到十九世纪上半叶，因AD1687年牛顿出版《自然哲学的数学原理》提出三大邉佣珊腿f有引力定律，而为研究天体的力学邉犹峁┝己没A。

十八世纪后，数学史中重要的大师李纳德‧欧勒(Leonald

Euler, AD1703-1788)改良古典式以圆和线段的表示，而使三角函数得到跳跃式的发展，贡献甚大，但在清初发展西法历学时，尚未传入。法国拉格朗日(J.L

Lagrange,AD1736-1813)创立分析力学，又使天体力学更往前迈开,是人类认识宇宙的一大跃进，有关细节非本文主旨不擬细述。