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上一篇很多家长看了，恍然大悟，原来过去教孩子只是教了表面的东西，没有深入到本质。数学思维，其实没有什么神秘的，它只是体现了人类思维是如何透过现象看本质，如何量化关系，如何通过数据证明某个结论的。父母很多时候容易在孩子学习数学这件事上走向两个极端，一方面容易把数学看得太可怕，觉得自己小时候数学就没有学好，肯定也辅导不了孩子，希望孩子不要遗传了自己数学不好这点；另一方面又容易把数学看得太浅白，觉得不过就是学学加减乘除，要抓数学就首先得抓运算，接着抓背公式，多做题就万事大吉了。 我面对的家长基本都是学龄前到小学的，就刷不刷题这件事，我经常对父母讲，现在没到刷题的时候，等到中学，你才会知道什么是刷题，才需要刷题，而我们小学，重点是把基础概念打扎实，这些概念会一直影响到中学数学的学习。 我讲“基本概念”很重要，就如同老先生把“基本功要扎实”这句话挂在口边一样。那么什么是小学数学的基本概念呢？说穿了就是四则运算的运算原理，逻辑结构，从这个点出发会衍生出各种数学关系，数学公式，乃至到初中，当孩子觉得数学问题越发高深莫测时，基本概念扎不扎实，就会影响到他们对更加抽象的数学公式，性质，定理的理解。 今天给大家举例的，是来自六年级的题目，因为周末给女儿讲某一类型题目，为了让她对比例这个概念理解更深入，找了几道类似题目给她做。 别看是六年级的题目，除了那些关于几何的公式，分数的运算，比例比值的性质等等新知识以外，最最核心的恰恰是二年级小朋友看上去都了解的：乘法运算。——但这里，我想强调的是，不仅仅是运算，我应该更正为：乘法运算结构。 下面请看题目解析： 此题如果你来辅导，你会怎么讲呢？下面是“导学号”上对这道题目的提示。可以说非常清晰，完全没有问题。重点可能会放到分数乘除法运算上。同时，你肯定认为这道题目在考核圆面积公式及运算熟练度。 但是很遗憾，这不是一种好办法，同时在运算层面上，也没有很好凸显出分数乘除法运算的技巧。我们需要提示孩子的是：这里阴影部分面积是公共的，也意味着，它可以通过两个途径算出其大小，由此，我们可以建立一个等量关系。 如果以我数学微课的风格来讲，我不会首先就从这个思路开始讲方法，列算式。而是需要先有一个导入，也就是上图中ab这个乘法等式，先要让孩子回顾一下乘法运算的性质，去理解乘法的此消彼长，去理解当总量相等的情况下，两个因数相互之间的关系是怎样的。 然后按照上图的思路，对应去讲如何建立这个等量关系，并以乘法运算结构的概念，来讲大圆与小圆面积之比。到了面积比，需要引导孩子从公式的关系入手，去思考，它会决定半径比，或者实际上是反过来的，半径这个变量，决定了最终面积的变化。我们还需要对面积公式中的常量稍作提示，让孩子再次运用乘除法运算的性质，去理解同时扩大缩小，结果不变，所以我们不必去考虑常量。 与导学号上进行对比的是，我们也应用了圆面积公式，但并没有误导孩子首先去思考“派”变成3.14去计算面积，导学号上的提示，虽然正确，但并没有把数学思维教给孩子，这恰恰是最重要的部分，如果要做提示，我们应当提示的是从我们过去已经学习掌握的概念出发，如何应用到这个新的情景中，去发现数学关系，去找到解决问题的关键点。 如果说，第一题，我们不用去考虑“派”，那么我们需要让孩子明白什么时候我们是需要考虑“派”的，所以有了第二题，形成比较的不是两个圆，而是一个圆和一个正方形。如果从应试的角度讲，我肯定也会引导孩子进行排除法，首先无法确定是不可能的，1:1也是不可能的，因为正方形面积与派无关，圆则有派，两者不可能形成1:1关系，于是就是从A与C中选择。 上面是导学号上的提示，你是不是看着有点晕？不管是文字，还是文字表述的含义，都如此复杂，不能立即提供有效醒目的提示，也难怪数学学到后来，家长都觉得孩子的阅读理解有问题，怎么说也不明白。 这一题我也不用图，也用文字来表述一下：
当然这里的公式是没有错的，也是正方形面积公式与圆面积公式，只是，我们需要强调的是，思考是从半径比切入，直接得出4倍这个关系的，再进一步思考还有一个常数。也就是我们把乘法运算中的结合律进行了一个拆分，逆向运用。 为了进一步检验对于乘法运算结构中这种反比例的理解，恰好六年级上也学习了比例，所以这道概念题就变成很好的延伸了。导学号上的解释，其实只是把比例的性质再讲了一遍，基本上做题目，学生都会记着这个性质，如果辅导的话，成人可能会让孩子再背诵一遍。 但显然，到了初中，仅仅靠背诵公式是不可行的，因为要背诵记忆的公式定理会越来越多，如果没有理解性记忆的话，背诵公式就变成累赘了。 那么这道题目的关键是什么呢？对于熟悉公式的孩子，也有可能做不出这道题目，或者搞错，其实是因为孩子在数学启蒙阶段就没有很好理解“集合”。无论是一阶段还是二阶段微课中，我们都强调过算式本身可以看成是一个整体，一个集合，一个具体的数量。这里同样也是，先运用乘法结合律，交换律，去交换一下位置，得到上图新的等式，重点看红字部分，就能让孩子猛然醒悟应该怎么做。当然，这里我省略了对乘法此消彼长这种性质的解说，它可以被用来理解比例的这种性质。 既然讲到比例，那么就进一步看看应用题中的应用。上题也是常见形式，根据导学号上的提示，我们应当从三角形公式入手，把高都用面积来表示出来，你看到了下图中复杂的算式了么？尽管我们找不出有什么不可以，不对的地方，但是这明显将孩子的思维往更加复杂，累赘的方向去引导。 根据我们之前几道题目的基础，这题首先上来要让孩子思考一个问题，这里什么量是不变的。我经常在数学微课的例题讲解中，会给家长提供引导孩子的问题，这些问题当中，很多都与分析题目中，什么量是变化，什么量是不变的有关。 这里当然是三角形面积，总量是不变的。同时，这个三角形面积，其实可以用三个算式来表达，因为有不同的底边及其上的高。 如同第一题一样，我们需要孩子思考三角形面积公式，但同时就忽略“除以2”这个部分，这个1/2为什么不用思考，可以向孩子提出这个问题，推动他主动思考，并再次巩固复习乘除法运算中，同时扩大缩小，积商不变的性质。
这里的解题方式可以有上面两种，一种从公倍数入手，既然面积不变，那么可以把面积想象成高的倍数，于是我们要寻找公倍数，既然我们在讲比例，自然可以只用最小公倍数来试就可以了，由此我们得到了三边之比。另一种方法则更加抽象，我们把三角形面积看成是“1”，这个1并不是面积是1，而是对于整体的一种表征方式，如果我们忽略1/2，就可以得出三边之比是用分数来表达的，因为要确保高＊边都等于1，因此边就是倒数。 其实无论用哪一种方法，我们都充分利用了乘法运算结构，并结合同比例扩大缩小积不变（也就是总量不变）这个性质。 讲到这里，我不得不再次强调，在数学微课系统课程中，二阶段的重要性是毋庸置疑的，它体现的是整个小学阶段需要用到的重要概念，这些四则运算的结构原理，一直影响到三阶段，乃至现在我所说的六年级以及后面初中的数学解题思路。 同样是导学号上的解题思路，针对工作效率这一题，一样也是套用了公式，实际上是引导孩子一遍遍背诵公式，但并没有给出公式以外的数学思考方式是什么？反而让孩子一味死板地运用公式去求某个量，却并没有引导孩子去思考等量关系，思考乘法结构中两个因数之间的关系，换句话说是题目中两种变量之间的关系。而这种关系的引导，恰恰才是数学思维最重要的部分。
吐槽导学号提示，其实应该说，大部分的教辅也都是如此，能够做到给予解题提示，而不是一个答案，已经算是很认真地投入了，只是很可惜，并没有以培养学生的“数学思维”为目标，而只是以检验孩子是否记得公式定理性质为目标。 想象一下，如果我们的教学都是以这种模式在前进，那么几年后，孩子就会变成一个个只会跟着公式走，按部就班，没有一点数学创造力的人，几年的这种熏陶，会让一个孩子再也看不出“数学关系”，体会不到数学的乐趣，其简洁的本质。
最后这题我不需要详细讲解，跟着文章一路看下来的家长，一看我上面这张图也就明白我的思路，明白切入重点在哪里了。 上面五题，都是对应在不同专项练习中的，我之所以把它们找出来放到一起，是因为它们都体现了同样的核心概念，或者说底层概念。如果要简单来表示，请看下图，这个简单到二年级小朋友都理解的等式，恰恰是奠定了六年级数学的基础。如果我们抛开这些基本概念，去单纯讲比例，那么孩子的数学思维是没有得到升华的，他们可能只是认为又多学了一个知识，要多背多记点东西，但如果你现在，从孩子小学中低年级就开始重视这些基本概念的输入，理解，拓展的话，并且不断把这些概念植入到新的情景，结合新的知识来讲的话，你一定能看到孩子数学思维逐年在提升。
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