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自从学生接触函数相关知识内容之后，它就成为大家数学学习的一个重难点。无论是在初中，还是高中，如何学好函数，一直是老师和学生的非常关心的事情。 如我们对近几年全国各地高考数学试卷进行分析研究，你会发现函数一直必考热点，题型有客观题（包含选择题和填空题）、解答题等，此类问题会与其他知识内容相结合，形成综合性更强的题型，这些对考生的来说都是挑战。 函数的单词性是函数的一个重要性质，许多函数问题的求解都与单调性有关，如最值问题等 ，因此考生要在复习期间，熟练运用函数的单调性，这样可以帮助大家准确和快速地解决函数问题。 什么是函数的单调性？ 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2： 1、当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。 2、当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 函数单调性有关的高考题，讲解分析1： 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1. (1)试求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论； (3)设A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)>f(1)}，B＝{(x，y)|f(ax－y＋√2)＝1，a∈R}， 若A∩B＝∅，试确定a的取值范围． 解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0， 得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2)任取x1，x2∈R，且x1<x2. 在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中， 若取m＋n＝x2，m＝x1， 则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)． 由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1. 为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可． 在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x， 则得f(x)·f(－x)＝1. 因为当x>0时，0<f(x)<1， 所以当x<0时，f(x)＝1/f（-x）>1>0. 又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R， 均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0. 所以函数f(x)在R上单调递减． (3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1. f(ax－y＋√2)＝1＝f(0)，即ax－y＋√2＝0. 由A∩B＝∅，得直线ax－y＋√2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点， 所以√2/√（a2+1）≥1，解得－1≤a≤1. 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。 函数的单调性反映了函数定义域内某个区间上函数值的增减变化和图象的升降趋势。借助函数值和自变量的关系进行刻画，反映函数区间上自变量的变化趋势和对应的函数值的变化趋势的关系，为函数应用开辟了新天地。 函数单调性有关的高考题，讲解分析2： 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f（x/y）＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性并加以证明； (3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域． 解：(1)∵当x>0，y>0时， f（x/y）＝f(x)－f(y)， ∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0. (2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝f（x2/x1）， ∵x2>x1>0. ∴x2/x1>1， ∴f（x2/x1）>0. ∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数． ∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)， ∵f(4)＝2，由f（x/y）＝f(x)－f(y)， 知f（16/4）＝f(16)－f(4)， ∴f(16)＝2f(4)＝4， ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]． 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。 函数单调性有关的高考题，讲解分析3： 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围． 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意： 一是函数定义域的限制； 二是函数单调性的判定； 三是等价转化思想与数形结合思想的运用。 函数单调性是每年高考数学的热门考点，它作为函数的一个重要性质，反映了函数增减变化的规律，是解决方程、不等式、最值、含有实际背景的最优化问题的工具，是进一步学好高等数学的重要基础。 |
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