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平行线有关的面积问题 【题目】 （2018·荆门）如图，抛物线y=ax² bx c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2． （1）求抛物线的解析式； （2）设直线y=kx 4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当1/x_2 -1/x_1 =1/2时，求k的值； （3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标． （坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=√((x_1-x_2)² (y_1-y_2)² )） 
【答案】 解：（1）根据题意得，-b/2a=-2，16a 4b c=8，c=0， ∴a=1/4，b=1c=0， ∴抛物线解析式为y=1/4x² x； 备注：待定系数法 （2）∵直线y=kx 4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2， ∴1/4x² x=kx 4， ∴x²﹣4（k﹣1）x﹣16=0， 根据根与系数的关系得，x1 x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16， ∵1/x_2 -1/x_1 =1/2， ∴2（x1﹣x2）=x1x2， ∴4（x1﹣x2）²=（x1x2）²， ∴4[（x1 x2）²﹣4x1x2]=（x1x2）²， ∴4[16（k﹣1）² 64]=162， ∴k=1； 备注：韦达定理的应用 （3）如图，取OB的中点C， ∴BC=1/2OB， ∵B（4，8）， ∴C（2，4）， ∵PQ∥OB， ∴点O到PQ的距离等于点O到OB的距离， ∵S△POQ：S△BOQ=1：2， ∴OB=2PQ， ∴PQ=BC，∵PQ∥OB， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∴PC∥AB， ∵抛物线的解析式为y=1/4x² x②， 令y=0， ∴1/4x² x=0， ∴x=0或x=﹣4， ∴A（﹣4，0）， ∵B（4，8）， ∴直线AB解析式为y=x 4，设直线PC的解析式为y=x m， ∵C（2，4）， ∴直线PC的解析式为y=x 2②， 联立①②解得，x=2√2，y=2√2 2（舍）或x=-2√2，y=-2√2 2， ∴P（﹣2√2，﹣2√2 2）． 备注：S△POQ：S△BOQ=1：2，由于这两个三角形有两条边平行，所以它们对应的高相等，那么面积比就等于对应边（底）的比。得PQ=1/2OB。这是本题的关键。 利用PQ∥OB，且PQ=BC，易得四边形BCPQ是平行四边形。 当然，也可以得到四边形PQCO为平行四边形。 如：设点P的坐标为（x，1/4x² x），因为易求得点C的坐标为（2,4）， 所以点Q的坐标为（x 2,1/4x² x 4），由于点Q在直线AB：y=x 4上，代入即可得到一个关于x的方程： x 2 4=1/4x² x 4，得x²=8，x=±2√2，结论易得。 以下是标准答案，相对而言更复杂一些。
【总结】 解题的时候，能利用几何性质进行化简，则尽量利用几何性质进行化简，否则会陷入运算复杂的误区。 本题关键就是利用面积关系，得到线段的关系。 拓展： 荆门，素有“荆楚门户”之称 ，位于湖北省中部，汉江中下游，北接襄阳市和随州市，西靠宜昌市，东临孝感市，南分别与荆州市、潜江市、天门市接壤，介于东经111°51′-113°29′，北纬30°32′-31°36′之间。 荆门在夏商时属荆州之域，西周分属权国、鄀国，春秋战国属楚，汉置当阳县，唐立荆门县，宋建荆门军，元设荆门府，明复荆门县，清为荆门直隶州，民国降州为县，新中国成立后续为荆门县。1979年，分设荆门县、荆门市。1983年，荆门县与荆门市合并升为地级荆门市。 荆门是湖北省历史文化名城 ，也是中国优秀旅游城市 ，境内有世界文化遗产——明显陵，以及楚汉古墓群、屈家岭文化遗址等文化古迹，诞生了朱厚熜、老莱子、宋玉、莫愁女等一批历史名人，留下了“阳春白雪”、“下里巴人”等历史典故。 |
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