05 | 季理真：Lie 的主要工作概览

优优的爸 2019-04-03

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季理真，1964 年 4 月生于温州。1984 年获杭州大学理学学士学位，1985 年赴美在丘成桐教授指导下研习数学。1987 年在加州大学圣地亚哥分校获得理学硕士学位，1991 年在美国东北大学获得理学博士学位。先后在美国麻省理工学院、普林斯顿高等研究所从事研究工作，1995 年至今任教于美国密歇根大学数学系，从 2002 年开始兼任浙江大学数学科学研究中心高级教授。曾获得 Sloan 研究奖，以及美国自然科学基金会数学科学博士后奖。

译者 | 林开亮

出自 | 《霍金与黑洞探索》

本文简要介绍了 Sophus Lie 的生平和工作，特别是他早期和 Felix Klein 在有关 Erlangen 纲领方面的富有成果的相互影响以及他们晚期的冲突，他与 Friedrich Engel 多产的合作，以及他的论文选集的编辑与出版。

Sophus Lie (1842-1899)

Lie 的主要工作概览

如前所述，Lie 非常多产，写了几千页的论文和多部论著。他的名字将永远与 Lie 群和 Lie 代数以及数学中的其他几十个概念（几乎全都涉及 Lie 群和 Lie 代数）联系在一起。一个自然的问题是：Lie 对 Lie 理论真正贡献了什么？第二个自然的问题是：除了 Lie 群和 Lie 代数，Lie 还做了什么？

由于 Lie 的写作风格，阅读理解 Lie 的工作是很不容易的。有一套称为《李群：历史、前沿及应用》（Lie Groups: History, Frontiers and Applications）的丛书，其中有一本收录了 Lie 的论文的英译本 [21]，还有 E. Cartan， Ricci，Levi-Civita 和其他更近代的人的经典著作和论文，Robert Hermann 在该书序言中写道：

在为了对这些翻译发表评论而做准备时，我阅读了 Lie 的工作，我被从他的工作中涌出的几何思想之丰富与优美惊呆了。其中仅有一小部分融入主流数学中。他的思考和写作都很粗线条，并且是以一种现在看来已经过时的方式，在我们当代的科学刊物中一定会被枪毙！在本卷以及接下来各卷中翻译的论文，呈现了 Lie 最狂放伟大的一面。

虽然如此，我们还是尽力提供一些简短的概括。虽然《大英百科全书》的文章面向的是受过教育的大众，但关于数学家的文章通常给出了比较受认可的总结。因此，在 Lie 群的整体理论被 Weyl 和 Cartan 发展之前，看一看这样一篇关于 Lie 的文章也许是富有教益和趣味的。《大英百科全书》中写于 1911 年的一篇文章总结了 Lie 在 Lie 理论方面的工作：

Lie 的工作在 19 世纪最后几十年对数学科学的进展产生了巨大影响。他最初的目标是提升和精心阐述微分方程的理论，正是为此目的，他开创了变换群的理论，这表述在他的《变换群理论》（3 卷，莱比锡，1888 — 1893）中。这部著作视野宽阔，极富原创性，也许正是此书最令他著名。他的连续群理论的一个特殊应用是非欧几何的一般问题。上面提到的这部书的后一部分致力于研究几何学的基础，依据的是 Riemann 和 Helmholtz 的观点；他曾打算在 G. Scheffers 博士的协助下出版一部关于其几何研究的系统论著，但出版的只有一卷《切触变换的几何学》（Geometrie der Berührungs-transformationen，莱比锡， 1896）。

这篇文章的作者在 1911 年也许没有预见到 Lie 理论的广阔范围和多层面的应用。根据我的所见所闻，可以列出 Lie 的主要工作如下：

(1)直线簇¹⁾ 。Lie 的这一工作是他后来关于微分方程和变换群、进而 Lie 理论 [13] 的工作之基础。它还包含了环胚多样体的起源。
(2) Lie 球面几何与 Lie 切触结构。切触变换与切触几何密切相关，切触几何是在奇数维时与辛几何相对应的理论，在物理学中有广泛的应用。最近，它被应用于低维拓扑学。
(3) 微分方程的积分理论。这个课题曾一度陷于沉寂，后来伴随着与可积系统和隐对称的紧密联系而恢复生机。
(4) 变换群（或 Lie 群）的工作。在 Lie 群的发展、成熟和应用中，这产生了巨大的影响。变换群理论的研究在 20 世纪 60−70 年代达到了其高潮。随着时间的推移，Lie 群的理论将会变得愈加重要，而且只要有数学，就会屹立不倒。
(5) 无穷小变换群（或 Lie 代数）。Lie 代数比 Lie 群简单，而且首先是作为理解 Lie 群的工具，但它们自身也很重要。例如，无限维的 Kac-Moody Lie 代数是通常的有限维 Lie 群的自然推广，它们的重要性和应用现在已经得到确认。虽然它们也有对应的 Kac-Moody Lie 群，但尚不清楚那有多大用处。
(6) 对 Erlangen 纲领的巨大贡献，这由 Klein 写下并公开提出，其成功和影响是导致 Lie 与 Klein 友谊破裂的部分原因。Lie 对这一纲领的表述和发展都有贡献，他的作用越来越得到数学史家和数学工作者的认可。
(7) Helmholtz 空间问题：决定其几何性质可以被刚体运动群确定的几何学。这一问题的解决促成 Lie 被授予 Lobatschevsky 奖。Lie 的这一工作也对 Poincaré 的几何工作有巨大影响。
(8) 极小曲面。1878 年，基于 Monge 关于极小曲面的 Euler-Lagrange 方程的求积工作，Lie 指出每一个极小曲面都联系着一条复解析曲线。这个联系催生了丰富的成果。与 Weierstrass, Riemann, Schwarz 等人的工作一起，这为 19 世纪末的极小曲面理论引入了复变函数理论的方法与结果的广泛应用。