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常规典型，落入俗套 【题目】 （2018·娄底）如图，抛物线y=ax² bx c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点： ①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标． 【答案】 解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax² bx c， a-b c=0，9a 3b c=0，c=3，解得：a=-1，b=2，c=3， ∴抛物线的解析式为y=﹣x² 2x 3． ∵y=﹣x² 2x 3=﹣（x﹣1）² 4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． 备注：求解析式用待定系数法，配方法或代入顶点坐标公式求顶点坐标。 （2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx n， 3m n=0，m n=4，解得：m=-2，n=6， ∴直线BD的解析式为y=﹣2x 6． ∵点F的坐标为（x，﹣x² 2x 3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x 6）， ∴FM=﹣x² 2x 3﹣（﹣2x 6）=﹣x² 4x﹣3， ∴S△BDF=1/2FM·（yB﹣yD）=﹣x² 4x﹣3=﹣（x﹣2）² 1． ∵﹣1＜0， ∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1． 备注：三角形面积最大值。 二次函数图象中的面积问题 坐标系中三角形面积公式 ②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD， ∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′， ∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE． ∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）． 设直线EF1的解析式为y=﹣2x b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x b1， ﹣2 b1=0，解得：b1=2， ∴直线EF1的解析式为y=﹣2x 2． 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，y=-2x 2，y=-x² 2x 3， 解得：x_1=2-√5，y_1=2√5-2，x_2=2 √5，y_2=-2√5-2（舍去）， ∴点F1的坐标为（2﹣√5，2√5﹣2）． 当x=0时，y=﹣2x 2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）． 同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2． 联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，y=2x-2，y=-x² 2x 3， 解得：x_1=-√5，y_2=-2√5-2，x_2=√5，y_2=2√5-2（舍去）， ∴点F2的坐标为（﹣√5，﹣2√5﹣2）． 综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣√5，2√5﹣2）或（﹣√5，﹣2√5﹣2）． 备注：∠DBE是定角，过点E作BD的平行线可得一个点，再对称到x轴下方，又可得一个点。利用平行与对称得到斜率的关系求解析式，再与抛物线联立即可。 或者作垂线构造相似亦可得结论。 |
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