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如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H，求证：四边形HFOE是平行四边形。 咋一看题目，很难，但是究竟难不难，还要去分析一下才能下结论。 首先来想一下，要证明OEHF是平行四边形，对边平行貌似不容易，对角线互相平分显得更扯，也就两组对边相等看着比较靠谱。 所以我们只需要证明OF=HE，FH=OE即可。 然后回过头来看题目中条件，E和F都是中点， 能想到什么呢？中线和中位线对吧？ 首先中线肯定没问题，FH为Rt△AHD的斜边中线， 而HE为Rt△BHC的斜边中线， 但是对于证明来说好像没有多大帮助， 那么再来看看中位线，F、O、E都可以是中点， 而F和O如果都构成中点位置，那么就会有中位线了， 如图，连接AO并延长，交弧BC于点M， 连接DM、OB、BM； 这样一来，DM=2OF， 只要再有DM=2HE即可搞定OF=HE， 而BC=2HE， 所以我们只要证明BC=DM即可， 要证明这两个线段相等，很容易想到三角形全等， 所以接下来证明△BDM≌△DBC， 条件有公共边BD，∠BCD=∠BMD， 还缺一组角， ∠BDM+∠BDA=90°， ∠BDA+∠DAC=90°， 所以∠BDM=∠DAC， 而∠DAC=DBC， 所以∠BDM=∠DBC， 那么全等成立， 则BC=DM， 进而得到HE=OF， 而HE=BE=EC， OA=OB， 可证△AOF≌△OBE， 所以OE=AF=HF， 那么两组对边分别相等， 所以平行四边形成立； |
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