【原】第十四课时 刘徽和割圆术

教学目标：了解刘徽和他的割圆术及其原理。培养学生对中国文化的景仰和热爱。让学生体会数的精度来源于生活并且随着人类社会的发展而发展。

教学过程：

一个半径为3的圆，面积是多少？  

 其中π的含义是什么？

一、圆周率π

圆周率是什么？你多半会回答：圆周率是π。

圆周率不是π，π仅仅是1706年数学家琼斯给它的一个记号，被世人所接受。如同问:矩形面积是什么？你一定回答矩形面积是长乘宽，不会说矩形面积是S，虽然我们常用S表示矩形面积。

圆周率是指“圆周长与该圆直径的比率”，记作π。很幸运，这是个不变的常数，虽然到目前为止我们并不知道它到底是多少，仅是算到60万亿位小数。人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。

德国数学家、集合论创始人康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”

我国最早采用的π值为3。中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（亦称“径一周三”）（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“导三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡也不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率，这个数值比“周三径一”要好些。到了魏晋，数学家刘徽认为张衡计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。他研究出了计算圆周率的方法并计算出精确到两位小数的圆周率的值3.14。在当时是很超前的，很了不起的。

二、刘徽和割圆术

1. 刘徽生平

数学家刘徽

刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。他在魏陈留王景元4年即公元263年撰写的杰作《九章算术注》和以后的《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷、方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

2.“割圆术”

割圆术（cyclotomic method）         

所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

“圜，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义。

认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。  

我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的圆的面积公式。为了证明这个公式，刘徽研究出了用极限思想求圆周率的方法，然后记载在他公元263年撰写的《九章算术注》第一章第32题之下，计1800余字，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

在《九章算术注》中，他这样阐述他的极限思想：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

“割圆术”从理论上能把圆周率的值计算到任意精度。

按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正192边形，得到了精确到小数点后两位的近似数3.14，化为分数是157/50，这就是著名的“徽率”。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。

另外，在割圆术中，刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分。

刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面。

刘徽以“极限思想”为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。祖冲之在圆周率上取得那么高的成就，显誉世界，刘徽的“割圆术”居功至伟！