连续整数乘积的裂项公式

计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(99×100)时，我们都知道将每个分数裂项为两个分数的差，把算式化为：

原式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/99-1/100，然后利用错位相加法进行简便计算，得：

原式=1-1/100=99/100.

这里的裂项依据是：1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。

对于计算：1×2+2×3+3×4+…+99×100，能否也用裂项错位相加法呢？问题解决的关键是如何将两个连续整数的乘积裂项为两个整数的差？

如果只考虑裂成两个连续整数乘积的差，经尝试后可以发现是无法实现的。因此，考虑裂成三个连续整数乘积的差。

设n为整数，猜想n(n+1)可以裂项为：

n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)。

这个算式与n(n+1)关系如何呢？经变形、整理，不难得到：

n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]

=n(n+1)×3,

即3n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)，

所以n(n+1)=1/3·[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].

这就是连续两个整数乘积n(n+1)的裂项公式。

有了这个公式就可以轻松地计算1×2+2×3+3×4+…+99×100。

解：原式=1/3·[(1×2×3-0×1×2)+(2×3×4-1×2×3)+(3×4×5-2×3×4)+…+(99×100×101-98×99×100)]

=1/3·99×100×101

=333300.

对于三个连续整数的乘积是否也有类似的裂项公式呢？回答是肯定的。

因为(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-n(n+1)(n+2)(n+3)

=(n+1)(n+2)(n+3)[(n+4)-n]

=(n+1)(n+2)(n+3)×4

=4(n+1)(n+2)(n+3)，

即4(n+1)(n+2)(n+3)= (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-n(n+1)(n+2)(n+3)，

所以(n+1)(n+2)(n+3)

=1/4·[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-n(n+1)(n+2)(n+3)].

这就是三个连续整数乘积的裂项公式。利用这个裂项公式可以轻松计算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+8×9×10

=1/4·[(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+(3×4×5×6-2×3×4×5)+…+(8×9×10×11-7×8×9×10)]

=1/4·8×9×10×11

=1980.

类似地，四个连续整数乘积的裂项公式为：

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

=1/5·[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]。

一般地，k个连续整数乘积的裂项公式为：

(n+1)(n+2)…(n+k)

=1/(k+1)·[(n+1)(n+2)…(n+k+1)-n(n+1)…(n+k)].