匀分积分区间计算微面积和求定积分值举例

一、关于定积分

的值

匀分积分区间。n为自然数整数，n→∞，令△x=a/n，将积分区间[0,a]匀分n个小区间。因为n→∞，△x是无穷小量。

定积分

的值就是：在[0,a]积分区间，被积函数曲线与x轴、直线=0、直线y=a所围成的区域的面积。它的面积近似等于这些矩形微面积和s。如图所示

s=△x*(1*△x）+△x*（2*△x）+△x*（3*△x）+…+△x*（n*△x）=△x²*n(n+1)/2

∵

[n(n+1)/2]/n²=1/2

∴s=(△x)³*n(n+1)/2≈△x²*n²/2=a²/2，a²/2就是定积分

的值。

二、关于定积分

的值

匀分积分区间，分法同前面一样，计算相关矩形微积和s.

s=△x*(1*△x)²+△x*（2*△x)²+(△x*)+(3*△x)²+…+△x*(n*△x)²

=(△x)³*n(n+1)(2n+1)/6

∵

[n(n+1)(2n+1)/6]/n³=1/3

∴s=(△x)³*n(n+1)(2n+1)/6≈(△x)³*n³/3=a³/3，a³/3就是定积分

的值。

三、关于定积分

的值

匀分积分区间，计算矩形微面积和s.

1³+2³+3³+……+n³= [n(n+1)]²/4 ，微积和s=△x*(1*△x)³+△x*（2*△x)³+(△x*)+(3*△x)³+…+△x*(n*△x)³

=(△x)⁴*[n(n+1)]²/4

∵

{[n(n+1)]²/4 }/n⁴=1/4

微面积和s=(△x)⁴*[n(n+1)]²/4 ≈(△x)⁴* n⁴/4=a⁴/4，a⁴/4就是定积分积分

的值。

四、关于定积分

的值

∵“1⁴+2⁴+3⁴+……+n⁴= n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30”

∴

[n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30]/n⁵=1/5。

匀分积分区间，计算相关矩形微面积和s.

s=(△x)⁵*n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30≈(△x)⁵*n⁵/5=a⁵/5。a⁵/5就是定积分积分

的值