❝“积分”有「不定积分」和「定积分」,学完了不定积分,定积分又是什么,它们存在关联关系吗? ❞ 应用已知梯田区域,如何求梯田的面积? 已知拱桥曲线,如何求曲线长度?
以梯田面积的计算为例若梯田由曲线 其面积计算过程如下. 划分(「化整为零」)内任意插入若干分点:,每个小区间为,区间长度为. 近似(「以直代曲」)任取,第个曲边梯形面积近似为第个矩形面积:. 求和(「积零为整」)所有矩形面积求和: 极限(「抛光磨平」)当最大区间长度趋于0时,矩形面积的极限即为曲边梯形的面积: 其中 定积分若将上述四步抽象出来,则得到了定积分的定义: 「划分」 若在内有定义,内任意插入若干分点: 每个小区间为 区间长度为 . 「近似」 任取,第个曲边梯形面积近似为第个矩形面积:. 「极限」 对任意的划分和,均有,则称为在的定积分,并记为
❝定积分如果通过定义计算会很复杂,牛顿-莱布尼兹公式将定积分和不定积分建立联系,从而可以便捷的计算定积分,但有些时候无法计算原函数,那么此时需采用数值计算或统计计算的方法求解. ❞
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